달러 경매 — 2등도 내는 규칙 하나가 손을 못 떼게 한다

버스 정류장에서 15분

버스가 안 온다. 정류장에 선 지 15분째다. 지금 택시를 잡으면 기다린 15분은 그냥 사라진다. 그러니 조금만 더 서 있어 보자는 계산이 선다 — 5분만 더 기다려서 버스가 오면 15분은 헛되지 않는다.

문제는 그 계산이 5분 뒤에도 똑같이 선다는 것이다. 그때는 20분을 이미 썼으니 물러나기가 더 아깝다. 25분에는 더 아깝고, 30분에는 더 아깝다. 매번의 판단은 각자 자리에서 옳은데, 이어 붙여 놓으면 40분을 서 있게 된다. 어느 대목이 틀렸는지 짚어 보라고 하면 짚을 데가 없다.

이 자리의 성질은 하나로 정리된다. 물러나도 이미 쓴 것을 돌려받지 못한다. 기다린 시간은 버스를 타야만 값을 하고, 안 타면 손실로 남는다. 그래서 물러난다는 판단은 지금까지 쓴 것을 손실로 확정하는 판단이 된다.

이런 구조는 생각보다 흔하다. 소송, 협상, 입찰전, 오래 끄는 프로젝트가 다 같은 모양이다. 공통점은 하나다. 그만두는 순간 지금까지 들인 것이 그대로 손실로 굳는다. 소송이라면 여기서 합의하고 물러나도 그동안 낸 비용은 돌아오지 않는다. 그래서 그만두기가 매번 조금씩 더 어려워진다.

그리고 이 구조를 규칙 두 줄로 압축한 게임이 하나 있다. 1971년에 한 경제학자가 논문으로 냈다. 그 뒤로 파티와 강의실에서 계속 돌아가고 있다.

달러 경매의 규칙: 2등도 낸다

달러 경매(dollar auction)는 1달러 지폐 한 장을 경매에 부치는 게임이다. 규칙은 두 줄이다. 첫째, 가장 높이 부른 사람이 1달러를 가져간다. 둘째, 2등도 자기가 부른 금액을 낸다. 돈은 내고 지폐는 못 가져간다. 경제학자 Martin Shubik이 1971년 논문에 적은 규칙이 이것이다.

두 번째 줄이 이 게임의 전부다. 보통의 경매에서는 진 사람이 아무것도 내지 않는다. 값을 부르는 데 비용이 없으니 마음 편히 부르다가 비싸지면 손을 뗀다. 달러 경매는 그 안전장치를 뺀다. 손을 떼는 순간 지금까지 부른 금액이 확정 손실이 된다.

경매가 어떻게 굴러가는지부터 보자. 누군가 5센트를 부르면 그것은 5센트로 1달러를 사는 셈이니 남는 장사다. 다른 사람이 10센트를 부르고, 또 15센트가 나온다. 이렇게 번갈아 올리다 보면 값은 금세 1달러 근처까지 온다. 여기까지는 평범한 경매와 다를 것이 없다.

갈리는 곳은 1달러를 넘어서는 자리다. 상대가 1달러를 불렀고 내가 95센트에 서 있다고 하자. 여기서 물러나면 나는 95센트를 내고 아무것도 받지 못한다. 95센트 손실이 확정이다.

1달러 5센트를 부르면? 이겼을 때 1달러가 들어오니 손실은 5센트로 줄어든다. 95센트를 잃느냐 5센트를 잃느냐의 선택이라면, 부르는 쪽이 압도적으로 낫다.

값이 1달러를 넘어서면 이기는 쪽도 손해다. 1달러 5센트를 내고 1달러를 받으면 5센트가 빈다. 그 뒤로 두 사람이 겨루는 것은 이득의 크기가 아니라 손해의 크기다. 덜 잃는 쪽이 이기는 판으로 성격이 바뀌는데, 규칙은 처음 그대로다.

이 계산은 값이 얼마까지 올라가도 똑같이 성립한다. Barry O’Neill이 1986년 논문 첫 절에 든 예가 정확히 이 지점이다. 내 입찰이 1.50달러이고 상대가 1.60달러라고 하자. 물러나면 1.50달러를 통째로 잃는다. 1.65달러를 부르면 이겼을 때 1달러가 들어오니 손실은 65센트다. 뒤처진 쪽에게는 언제나 조금 더 부르는 쪽이 최선으로 보인다.

돈이 어디로 가는지도 짚어 두자. 경매에 부친 쪽은 두 사람의 입찰액을 모두 받고 1달러 한 장만 내준다. 둘이 1.50달러와 1.60달러에 서 있다고 하자. 걷히는 돈은 3.10달러다. 입찰자 둘이 합쳐 2.10달러를 잃는 중인데, 각자에게는 여전히 더 부르는 쪽이 유리해 보인다.

그런데 상대도 뒤처지는 순간 똑같은 계산을 한다. 그래서 둘은 서로를 뒤처진 자리로 밀어 넣으며 값을 계속 올린다. 두 사람 다 각자의 시점에서 손해를 줄이는 쪽으로 움직이는데, 결과를 합쳐 놓으면 1달러짜리 지폐 한 장에 몇 달러를 쓰고 있다.

뒤처진 쪽이 계속 부르는 것을 욕심으로 보기는 어렵다. 손실을 줄이는 계산을 정직하게 하고 있을 뿐이다. 매 순간 그 계산은 맞는다. 틀린 것은 계산이 아니라 그 계산을 반복하게 만드는 자리다.

파티 게임에서 실측한 값

Shubik은 이 게임을 파티에서 돌린 경험을 논문에 적었다. 사람이 많을수록 좋고, 다들 기분이 올라 있어 계산이 잘 서지 않는 때가 적기라고 썼다. 그가 남긴 관찰은 이렇다.

이 수치는 통제된 실험이 아니라 관찰이다. 몇 판을 돌렸는지도, 지불 합계가 어떻게 흩어졌는지도 이 글이 확인한 전재 문면에는 없다. 그래도 방향은 분명하다. 1달러짜리 지폐 한 장이 3달러에서 5달러에 팔린다. 값이 1달러 선을 넘는 순간의 장면도 적어 두었다. 입찰이 그 선을 지날 때 방 안 사람들이 잠깐 멈칫하며 망설이고, 그 뒤로는 속도가 붙었다 잦아들었다 하며 결투가 이어진다.

판돈을 키우면 숫자도 커진다. 하버드 경영대학원에서 Bazerman이 20달러 지폐로 같은 경매를 돌린 기록이 204달러다. 그의 말은 12달러에서 16달러 구간까지 입찰이 빠르게 오간다는 것이다. 거기서부터 약한 쪽이 빠지고 둘만 남는다는 대목은 기사의 서술이다.

여기까지가 이 게임이 유명해진 이유다. 규칙이 사람을 파국으로 끌고 가는 함정처럼 보인다. 그런데 그렇지가 않다.

앞에서 예를 빌려 온 그 논문에서 O’Neill은 이 게임을 아예 풀어 버렸다. 국가 사이의 확전, 그러니까 싸움이 점점 커지는 과정을 다루려고 쓴 글이다. 답은 놀랄 만큼 짧다. 두 사람이 쓸 수 있는 돈에 한도가 있고 그 한도를 서로 알고 있다면, 먼저 부르는 사람이 딱 한 번 부르고 나머지 한 사람은 물러난다. 한도가 둘 다 2.50달러일 때 그 한 번의 값은 60센트다. 60센트에 1달러를 가져가고 게임이 끝난다는 뜻이다.

파티에서 나온 3~5달러와 이 60센트가 같은 게임의 답이다. 선뜻 믿기지 않는다. 규칙은 하나도 바꾸지 않았다. 더한 조건은 하나뿐이다 — 두 사람이 쓸 수 있는 돈이 정해져 있고, 서로 그 값을 안다.

그렇다면 파국은 규칙이 만든 것이 아니다. O’Neill이 초록에 적은 문장이 그렇다. 달러 경매는 그 자체로 함정이 아니고, 입찰자 쪽의 비합리성을 파고들 뿐이라는 것이다.

남은 것은 둘이다. 60센트라는 값이 어디서 나오는지를 먼저 본다. 그다음은 답이 이렇게 분명한데도 파티에서 3달러에서 5달러가 나가는 이유다.

역진귀납으로 끝에서부터 읽기

첫 번째부터 간다. 역진귀납(backward induction)은 게임을 끝에서부터 거꾸로 푸는 방법이다. 마지막 자리에서 무엇이 최선인지는 계산하기 쉽다. 거기서부터 답을 정하고, 한 수씩 앞으로 오면서 "다음이 저렇게 될 것을 아니까 여기서는 이렇게 둔다"를 채워 넣는다. 끝이 있어야 시작할 수 있는 방법이다.

달러 경매에 끝을 만들어 주는 것이 한도다. 두 사람이 주머니에 가진 돈이 정해져 있고 그 이상은 못 부른다면 게임은 반드시 끝난다. O’Neill이 붙인 조건이 이것이다. 판돈은 s단위, 한도는 b단위이고 두 사람의 한도는 같다. 단위는 니켈, 즉 5센트다. 그다음은 판 전체를 지도로 그리는 일이다.

그림 1에서 칸 하나는 게임의 한 상태다. 가로세로로 0단위부터 50단위까지 놓으면 칸이 2,601개인데, 두 사람의 입찰액이 같은 대각선은 둘 다 0인 시작 자리 말고는 나올 수 없어 50칸을 뺐다. 두 색은 그 자리에서 수를 둘 차례인 쪽이 이기는지를 완전 역진귀납으로 판정한 결과이고, 차례 쪽이 이기는 칸은 817개다. 나머지 칸에서는 무엇을 불러도 지므로 물러나는 것이 최선이다.

색이 사선 띠 모양으로 반복되는 것이 이 지도의 핵심이다. 승패를 정하는 것은 입찰액이 얼마나 큰지가 아니라 한도까지 남은 거리의 나머지다. 나머지는 나눗셈에서 남는 수를 말한다.

식 1에 판돈 20단위와 한도 50단위를 넣어 보자. 49를 19로 나눈 나머지가 11이고, 여기에 1을 더하면 12단위, 곧 60센트다. 초록에 적힌 그 값이다. O’Neill이 본문에 든 세 한도로 확인하면 이렇다.

# O'Neill 정리 1: 판돈 s단위, 한도 b단위일 때 먼저 부르는 사람의 첫 입찰
s = 20  # 판돈 1달러 = 니켈 20단위

for b in (50, 51, 58):
    units = (b - 1) % (s - 1) + 1
    print(f"한도 {b * 0.05:.2f}달러 → 첫 입찰 {units}단위 = {units * 5}센트")

한도 2.50달러 → 첫 입찰 12단위 = 60센트
한도 2.55달러 → 첫 입찰 13단위 = 65센트
한도 2.90달러 → 첫 입찰 1단위 = 5센트

식이 맞는지는 무차별 대입으로 확인했다. 한도를 1.05달러부터 4.00달러까지 5센트씩 올린 60개 값에서, 게임을 끝까지 펼쳐 얻은 첫 입찰과 식 1의 값을 대조했다. 불일치는 0건이었고, 60건 전부 상대가 첫 수에 물러났다.

그림 2가 그 60개 값을 한도 순으로 늘어놓은 그림이다. 톱니가 반복되는 것은 답을 정하는 것이 나머지이기 때문이다. 한도가 40센트 커진 2.90달러에서 첫 입찰이 바닥으로 떨어지는 것도 그래서다. O’Neill의 표현을 옮기면, 주머니 속 5센트 차이가 1달러를 5센트에 가져갈지 95센트에 가져갈지를 가른다.

사람은 왜 그 답대로 못 하나

이제 파티 쪽 이야기다. O’Neill이 첫 번째로 든 이유는 예견의 길이다. 식 1의 답을 스스로 얻으려면 게임을 끝까지 읽어야 한다. 한도 2.50달러 판에서 첫 수를 제대로 평가하려면 51수를 내다봐야 한다. 체스 명인이 실제로 읽는 수는 대략 7수라고, O’Neill은 DeGroot(1965)를 옆에 붙여 뒀다. 51은 사람이 다루는 깊이가 아니다.

그래서 사람은 몇 수 앞에서 읽기를 끊고 그 자리를 어림으로 평가한다. 여기서 방향이 갈린다. 끊은 자리가 내가 방금 부른 직후라면 최고가는 나이므로 이긴 것처럼 보이고, 그러면 낙관해서 부른다. 반대로 상대가 부른 직후에서 끊기면 진 것처럼 보인다. 그러면 비관해서 물러난다. 앞쪽은 마지막 수의 오류(fallacy of the last move)라는 이름으로 이미 불리고 있었고, O’Neill도 그 이름을 그대로 옮겨 적었다.

이 모형은 그대로 코드가 된다. 정해진 깊이까지만 역진귀납으로 읽고, 끊긴 자리는 방금 수를 둔 쪽이 이긴 것으로 치는 입찰자를 만들었다. 깊이를 끝까지 키우면 O’Neill의 합리적 입찰자, 곧 완전 예견이 된다. 같은 깊이 두 명을 서로 붙여 돌려 봤다.

그림 3가 그 결과다. 둘 다 한 수만 읽으면 게임은 한도까지 간다. 5센트씩 쉰 번을 주고받아 둘이 낸 합계가 4.95달러다. Shubik이 파티에서 본 3~5달러 구간이 여기서 그대로 나온다.

반대쪽 끝의 그림은 전혀 다르다. 여섯 수 이상 읽는 두 사람은 완전 예견과 똑같이 60센트 한 번으로 끝낸다. 이 판은 여섯 수만 읽어도 정답에 닿는다는 뜻인데, 단서가 붙는다 — 둘 다 읽을 때다.

한 수부터 열두 수까지와 완전 예견, 열세 가지 깊이를 두 사람에게 각각 물려 169쌍을 전부 돌렸다. 첫 수에 상대가 물러나는 쌍이 120쌍으로 71.0%다. 최고 입찰이 1달러 이상까지 올라간 쌍은 38쌍, 22.5%다. 한도까지 가는 쌍은 19쌍으로 11.2%다. 이 격자 안에 이 글의 요점이 되는 조합이 하나 있다.

완전 예견 입찰자가 한 수만 읽는 상대를 만나는 자리다. 경로는 그림 1에 얹은 화살표 여섯 점이다. 완전 쪽이 정답대로 60센트로 연다. 근시 쪽은 한 수만 보므로 65센트로 받는다 — 물러나면 0인데 부르면 이길 수 있어 보이니까. 완전 쪽은 다시 계산해 1.55달러를 부른다. 근시 쪽이 1.60달러로 받자 완전 쪽이 한도인 2.50달러를 부르고, 근시 쪽은 더 올릴 수 없어 물러난다.

완전 쪽이 이겼다. 2.50달러를 내고 1달러를 받았으니 순손실이 1.50달러다. 근시 쪽은 1.60달러를 내고 아무것도 받지 못했다. 정답을 아는 쪽이 정답대로 두고도 1.50달러를 잃었다. 남들이 어디에 서 있는지가 답의 값을 정한다는 점에서는 케인스 미인대회를 다룬 앞 편과 같다. 다만 여기서 재는 것은 남들이 멈춘 자리가 아니라 상대가 읽는 수의 길이다.

확전을 켜는 조건들

O’Neill은 논문 뒤쪽에 표를 하나 만들었다. 확전을 부추기는 요인 열두 개를 세로로 놓고, 가로에는 판 세 가지를 놓아 칸마다 그 요인이 켜져 있는지 표시했다. 세 판은 규칙만 있는 이상적인 달러 경매, 사람이 실제로 하는 달러 경매, 국가 사이의 확전이다.

이상적인 판에 켜진 칸은 셋뿐이다. 중재할 제3자가 없다는 것, 낸 돈을 회수할 수 없다는 것, 둘이 동등한 조건으로 함께 빠져나갈 수 없다는 것. 이 셋만 있는 판의 답이 60센트다.

사람이 하는 판에서는 세 칸이 더 켜진다. 제한된 예견과 이기고 싶은 욕구는 앞에서 본 것이다. 세 번째는 수의 정보 기능이다 — 값을 올리는 수가 이기려는 일 말고도 나는 물러서지 않는다는 신호를 상대에게 보낸다는 뜻이다. 표에는 네 번째 칸으로 위기 불안정이 더 찍혀 있다. 먼저 올린 쪽이 그 수준에서 더 큰 성과를 가져가는 구조를 말한다. 다만 본문은 이 요인이 달러 경매가 아니라 국제 분쟁에서 나타난다고 적어 표와 어긋나므로, 이 글은 확인되는 세 칸만 센다.

앞의 두 칸은 O’Neill이 Teger의 실험으로 뒷받침했다. 그가 옮긴 바로는 모든 실험 조건에서 압도적 다수가 입찰에 들어왔고, 피험자들은 돈과 무관하게 이기고 싶었다고 보고했다. 파티 게임의 3~5달러도, 강의실의 204달러도 이 세 칸이 함께 켜진 판에서 나온 값이다. 규칙은 같았고, 켜진 칸이 달랐다.

한도를 적는 자리

작은 공사를 놓고 여러 회사가 붙는 입찰전 한 건을 가져와 보자. 제안서를 쓰는 데 이미 사람과 시간이 들어갔고, 떨어지면 그 비용은 돌아오지 않는다. 앞의 산술을 이 자리에 대기 전에 물러나는 경우부터 따져 본다. 손을 뗐을 때 쓴 것을 돌려받는 자리라면 값이 비싸질 때 나오면 그만이라 뒤의 이야기가 필요 없다. 못 돌려받는다면 2등도 내는 규칙이 작동하는 자리이고, 여기서부터 계산이 필요해진다.

다음은 한도를 적는 일이다. 이 게임에서 한도는 주머니에 든 돈이었지만, 실제 자리에서 한도는 여기까지 쓰고 그만둔다고 미리 정해 둔 금액이거나 시간이다. 입찰전이라면 제안 비용 얼마까지, 기다림이라면 몇 분까지다. 그 값을 적어 두면 첫 수가 계산으로 나오고, 안 적으면 계산할 것 자체가 없다. 한도가 없는 달러 경매에는 정리 1이 답을 주지 못한다. 값이 오르고 나서 정하는 한도는 한도 구실을 못 한다 — 그 자리에서는 이미 뒤처진 쪽의 계산이 돌아간다.

마지막은 상대 쪽인데, 이 확인이 가장 자주 빠진다. 상대가 몇 수를 읽는지는 물어볼 수 없으니, 같은 상대와 붙었던 지난번을 떠올려 그가 어디서 멈췄는지를 본다. 값이 올라갈 때마다 끝까지 따라 올라왔다가 마지막에 손을 뗐다면, 그는 앞을 짧게 보고 이기는 것 자체를 원하는 쪽이다. 합성 경매에서 완전 예견 쪽은 1.50달러를 잃었다. 그가 계산을 틀려서 나온 값이 아니라, 상대가 읽지 않아서 나온 값이다. 그런 자리에서는 첫 수를 두지 않는 편이 낫다.

O’Neill의 표를 다시 펴 놓고 지금 서 있는 자리를 그 위에 얹어 본다. 이상적인 판의 셋만 켜져 있으면 계산이 답을 준다. 사람이 하는 판의 세 칸이 함께 켜져 있으면 계산은 맞고 결과는 틀린다. 그러니 첫 수는 표를 읽고 나서 둔다. 지금 이 자리에는 어느 칸이 켜져 있는가.

이 글은 검증 기록이며, 특정 종목이나 상품의 매수·매도 권유가 아니다.

더 읽기

• O’Neill, Barry, "International Escalation and the Dollar Auction", Journal of Conflict Resolution 30(1), 1986, pp. 33–50. https://doi.org/10.1177/0022002786030001003 — 정리 1·2, 격자 그림, 예견 길이 논의와 확전 요인 표가 여기 있다. 이 글이 읽은 사본은 1985년 3월 Kellogg 토론 초고(No. 650, https://www.kellogg.northwestern.edu/research/math/papers/650.pdf)이고, 출판본과의 문면 차이는 확인하지 못했다.
• Shubik, Martin, "The Dollar Auction Game: A Paradox in Noncooperative Behavior and Escalation", Journal of Conflict Resolution 15(1), 1971, pp. 109–111. https://doi.org/10.1177/002200277101500111 — 규칙과 파티 관찰의 출처. 원문은 열지 못했고, 인용한 문면은 Poundstone의 Prisoner’s Dilemma(1992) 발췌와 Conversable Economist(2011-11-15)의 전재가 일치하는 부분만 옮겼다.
• Brafman, Ori & Rom Brafman, Sway: The Irresistible Pull of Irrational Behavior, Doubleday, 2008, ch. 1 — Bazerman의 20달러 지폐 경매와 204달러 기록이 실린 2차 출처다.