승자의 저주 — 경매에서 이긴 사람은 평균적으로 손해를 본다

항아리 경매

어느 경제학 수업에서 동전이나 클립이 든 항아리를 강단에 올려놓고 경매에 부쳤다. 학생들은 항아리를 눈으로만 살펴본 뒤 각자 값을 적어 냈고, 가장 높은 값을 적은 사람이 그 값을 내고 항아리를 가져갔다. 한 번만 한 것이 아니다. 내용물이 다른 항아리 넷을 차례로 올려 네 번 경매했고, 한 번의 경매에 붙은 인원은 4명에서 26명 사이였다. Bazerman과 Samuelson이 1983년에 보고한 수업 경매이고, 여기 옮긴 수치는 Kagel(2003)의 요약을 따랐다.

항아리에 든 것의 실제 가치는 넷 다 8달러였다. 학생들이 적어 낸 추정치의 평균은 5.13달러로, 실제 가치보다 2.87달러 낮았다. 그런데 낙찰가의 평균은 10.01달러였다. 이긴 사람은 평균 2.01달러를 손해 봤다.

두 숫자를 나란히 놓으면 앞뒤가 안 맞는다. 방 전체는 항아리를 실제보다 싸게 보고 있었는데, 그 방에서 이긴 사람만 실제보다 비싸게 샀다. 뒤집힘은 우연이 아니다 — 이긴 사람만 골라내는 규칙 자체가 만들어 내는 것이고, 그래서 그 폭을 미리 계산할 수 있다.

공통가치 경매와 승자의 저주

경매를 두 종류로 갈라 보면 승자의 저주(winner’s curse)가 어디서 나오는지 보인다. 한쪽은 물건의 값이 사람마다 다른 경매다. 오래된 LP 한 장이 누구에게는 만 원이고 누구에게는 십만 원인 것처럼, 각자의 값이 각자에게 맞다. 이런 자리에서는 높게 부른 사람이 이겨도 잘못된 것이 없다. 그 사람에게는 정말 그만큼의 값이니까.

다른 한쪽은 물건의 값이 누구에게나 똑같은데 그 값을 아무도 모르는 경매다. 항아리에 든 동전의 액수는 하나로 정해져 있고, 세어 보기 전까지는 아무도 그 수를 모른다. 유전 하나에 묻힌 기름의 양도, 인수하려는 회사가 앞으로 벌어들일 돈도 같은 모양이다. 이런 경매를 공통가치(common value) 경매라고 부른다.

이제 경매 규칙을 다시 본다. 이기는 사람은 가장 높은 값을 부른 사람이다. 모두가 자기 추정치를 그대로 부른다면, 이긴 사람은 곧 추정치가 가장 높았던 사람이다. 그러니까 낙찰은 물건을 얻었다는 소식이면서 동시에 "내 추정치가 이 방에서 제일 높았다"는 정보다. 이 정보가 왜 나쁜 소식인지는 그림 한 장이면 보인다.

그림 1는 다섯 명이 붙는 합성 경매의 두 분포를 겹쳐 놓은 것이다. 하나는 참가자 전원의 추정치가 진짜 가치에서 얼마나 어긋났는지이고, 다른 하나는 그중 낙찰자의 추정치만 골라낸 것이다. 전체 분포는 0을 중심으로 좌우 대칭이다. 아무나 한 명 집어 그 사람의 추정치가 진짜 가치보다 높을 확률은 정확히 절반이라는 뜻이다. 그런데 낙찰자만 골라내면 97%가 진짜 가치보다 위에 있고, 평균은 8.0만큼 위로 밀려 있다.

밀린 이유는 뽑는 방식에 있다. 다섯 개의 값 중에서 가장 큰 하나를 고르면 그 값은 다섯 개의 평균보다 위쪽에 있기 마련이고, 고르는 개수가 많아질수록 더 위로 간다. 두 명이면 평균 4.0, 다섯 명이면 8.0, 열 명이면 9.8만큼 위다. 통계에서는 이렇게 어떤 조건이 성립한 세계에서만 잰 평균을 조건부 기댓값이라고 부른다. 낙찰자가 실수를 한 것이 아니라, 최고값만 골라내는 규칙이 이 편차를 만든다.

깎아야 할 폭은 바로 이 편차다. 입찰가는 내 추정치 그대로가 아니라 그만큼 미리 내린 값이어야 한다. 추정치가 진짜 가치에서 최대 ±ε 안에서 고르게 흩어져 있고, 나를 포함한 입찰자는 n명이라고 하자. 깎을 폭은 그 불확실 폭 ε에 (n−1)/(n+1)을 곱한 값이다.

식 1의 x는 내 추정치, b는 부를 값이다. 다섯 명이면 (n−1)/(n+1)이 2/3이니 불확실 폭의 3분의 2를 깎는다. 열 명이면 9/11, 거의 폭 전체를 깎는 셈이다. 경쟁자가 늘수록 더 세게 깎아야 한다는 뜻인데, 실제 사람의 손은 정반대로 간다. 그 실측은 뒤에 나온다.

실험실에서 실측한 손해

수업 시연 한 번은 일화로 남을 수 있다. 같은 구조를 통제된 실험으로 반복한 기록을 본다. Kagel 등이 1989년에 보고한 실험(Kagel 2003 재수록)에서는 경매를 처음 해 보는 사람들을 모아 같은 경매를 반복시켰다. 물건의 진짜 가치는 매번 새로 뽑고, 참가자에게는 그 값 주변의 추정치를 하나씩 나눠 준다. 가장 높이 적어 낸 사람이 그 값을 내고 물건을 가져간다.

모두가 조건부 추론을 제대로 한다면 첫 아홉 번의 경매에서 낙찰자의 평균 이익은 +1.90달러여야 했다. 실제로 잰 값은 −2.57달러였다. 흑자로 끝난 경매는 전체의 17%뿐이었고, 참가자의 41%가 밑천을 다 잃고 실험에서 탈락했다.

무엇을 잘못했는지도 같은 표에 있다. 실험자는 각 입찰가를 "내 추정치가 최고라는 조건 아래의 기댓값"과 비교했다. 전체 입찰 가운데 59%가 그 값보다 높았다. 실제로 낙찰된 입찰만 추리면 그 비율이 82%로 올라간다. 낙찰된 입찰 열 건 중 여덟 건이 처음부터 평균 손해가 나는 값이었다는 뜻이다.

합성 경매로 재현하기

같은 구조를 컴퓨터로 다시 만들면 폭까지 잴 수 있다. 설계는 실험실 쪽과 같다. 진짜 가치를 하나 뽑고, 참가자 n명에게 그 값 ±12 안에서 고르게 흩어진 추정치를 하나씩 준다. 참가자 수는 2명에서 10명까지, 각 조건을 시드 20개 × 20,000회 돌렸다. 전략은 셋을 나란히 뒀다. 추정치를 그대로 부르는 쪽, 식 1대로 깎는 쪽, 폭 전체인 12를 깎는 쪽이다.

그림 2에서 추정치를 그대로 부르는 곡선은 참가자 수와 함께 아래로 처진다. 두 명일 때 −4.0이던 평균 손익이 열 명에서는 −9.8로, 약 2.5배다. 손해로 끝난 경매의 비율도 같이 오른다 — 두 명이면 75%, 다섯 명 97%, 열 명 99.9%다.

손실의 크기에는 규칙이 있다. 표에서 그대로 부르기 열의 손실 크기는 식 1이 깎으라고 한 폭과 자릿수까지 같다. 우연이 아니다 — 낙찰자의 추정치가 진짜 가치보다 평균 얼마나 위인지를 계산하면 정확히 그 값이 나온다.

식 2의 왼쪽은 낙찰자가 평균 얼마나 위로 밀려 있는지이고, 오른쪽은 식 1이 깎으라는 폭이다. 밀린 만큼 깎아 내리는 것이니 두 값이 같다. 조건부로 깎은 열은 여섯 조건 전부에서 평균 손익이 0.0이다. 0은 이익이 아니라 손익이 갈리는 지점이다. 흑자를 남기려면 거기서 더 깎아야 한다.

왜 이렇게 계산하기 어려운가

계산이 이 정도로 간단한데 실험 참가자들은 왜 못 했을까. 상대가 어떻게 부를지 몰라 헷갈린 것일 수도 있고, 조건부 추론 자체가 어려운 것일 수도 있다. 둘은 다른 문제다.

Koch와 Penczynski(2018)가 그 둘을 갈라놓는 실험을 설계했다. 두 사람이 겨루는 공통가치 경매와, 조건부 추론이 필요한 대목만 걷어낸 변형판을 함께 돌렸다. 만하임에서 182명이 참가했다.

사람을 상대로 한 원래 경매에서 낙찰자가 손해 본 비율은 61%인데, 조건부 추론을 걷어낸 판에서는 32%로 내려갔다. 상대가 규칙이 공개된 컴퓨터일 때도 45%에서 24%로 내려갔다. 상대가 사람이든 기계든 조건부 추론을 걷어내면 손해 본 낙찰자의 비율이 절반 가까이로 준다. 어려운 것은 상대가 아니라 "내가 이겼다"에서 정보를 읽어 내는 한 걸음이다.

경험은 도움이 되지만 옮겨지지 않는다

그러면 몇 번 해 보면 익숙해질까. 절반은 그렇다. Kagel과 Levin(1986)의 실험에서 경매를 한 번 이상 겪어 본 입찰자들은 3~4명이 붙는 경매에서 평균 +4.32달러로 흑자를 냈다. 이론이 예측한 7.48달러에는 못 미쳤지만 흑자는 흑자다.

같은 사람들을 그대로 6~7명 경매에 넣자 평균 손익은 −0.54달러로 돌아갔다. 그 조건의 예측값은 4.82달러였다. 경쟁자가 늘면 식 1이 말하는 대로 더 깎아야 하는데 실제로는 반대로, 더 공격적으로 불렀다. 몸에 붙은 것은 "이 정도 깎으면 되더라"라는 한 자리의 감각이지, 자리가 바뀌어도 따라오는 규칙이 아니었다.

입찰 전에 깎을 값을 계산하는 법

그 규칙은 손에 쥘 수 있을 만큼 짧다. 필요한 값은 세 개뿐이다. 내 추정치, 그 추정치가 어긋날 수 있는 폭, 그리고 나를 포함한 입찰자 수다.

한 판을 끝까지 따라가 본다. 다섯 명이 붙는 합성 경매의 첫 판을 그대로 가져왔다. 이 판의 진짜 가치는 174.11이고, 다섯 사람의 추정치는 162.50부터 184.01까지 흩어져 있다. 물론 입찰하는 사람은 174.11을 모른다. 손에 든 것은 자기 추정치 하나뿐이다.

내 추정치가 184.01이라고 하자. 다섯 명 중 가장 높으니 이 값을 그대로 부르면 나는 이긴다. 그리고 174.11짜리 물건을 184.01에 사서 9.91을 잃는다. 이번엔 깎고 부른다 — 불확실 폭이 12이고 다섯 명이니 깎을 폭은 12 × 2/3, 곧 8.0이다. 다섯 명이 모두 같은 규칙으로 깎는다면 176.01을 불러도 여전히 이기고, 손해는 1.91로 줄어든다. 손으로 한 이 계산을 코드로 옮기면 이렇다.

import numpy as np

EPS, N = 12.0, 5                                # 불확실 폭 ±12, 입찰자 5명
rng = np.random.default_rng(0)
x0 = float(rng.uniform(50 + EPS, 250 - EPS))    # 아무도 모르는 진짜 가치
signals = x0 + rng.uniform(-EPS, EPS, N)        # 다섯 사람의 추정치

cut = EPS * (N - 1) / (N + 1)                   # 깎을 폭
naive_bid = float(signals.max())                # 그대로 부른 최고가
corrected_bid = naive_bid - cut                 # 전원이 깎고 부른 최고가

print(f"진짜 가치   {x0:.2f}")
print("추정치     " + ", ".join(f"{s:.2f}" for s in signals))
print(f"깎을 폭     {cut:.1f}")
print(f"그대로 부르면  낙찰가 {naive_bid:.2f} / 손익 {x0 - naive_bid:+.2f}")
print(f"깎아서 부르면  낙찰가 {corrected_bid:.2f} / 손익 {x0 - corrected_bid:+.2f}")

진짜 가치   174.11
추정치     168.58, 163.09, 162.50, 181.62, 184.01
깎을 폭     8.0
그대로 부르면  낙찰가 184.01 / 손익 -9.91
깎아서 부르면  낙찰가 176.01 / 손익 -1.91

이 한 판만 보면 보정이 실패한 것처럼 읽힌다. 깎고도 손해가 났으니까. 그런데 식 1이 약속한 것은 이 판의 흑자가 아니라 여러 판의 평균이다. 같은 규칙으로 20,000판을 돌리면 그 평균이 0.0에 맞아떨어진다는 것이 앞의 표였다.

그림 3은 이 계산을 단계별로 세운 것이다. 추정치 184.01에서 조건부 보정 8.0을 빼면 176.01, 여기가 손익 0선이다. 이익을 남기고 싶으면 이 아래로 더 내려가야 한다. 불확실 폭 12를 마저 깎아 172.01까지 내리면 그 값은 진짜 가치를 넘을 수 없다.

차트에서 본 패턴이 진짜인지 따져 보던 앞 편의 도구가 순서를 섞은 대조군 100장이었다면, 이번 도구는 종이 한 장에서 끝난다. 가지고 나갈 것은 세 값과 곱셈 하나다. 입찰 전에 내 추정치를 적고, 그 추정치가 어긋날 수 있는 폭을 정하고, 몇 명이 붙는지 센다. 폭에 (n−1)/(n+1)을 곱해 추정치에서 빼면 손익 0선이 나오고, 이익은 그 아래에서만 난다.

이 산술은 경매장 밖에서도 그대로 든다. 여럿이 같은 것을 각자 추정해 겨루고, 가장 높이 부른 쪽이 가져가는 자리라면 다 같다. 인수전의 매수 제안, 공모주 청약 가격, 채용에서 오가는 연봉 제시 — 이겼다는 사실은 어디서나 내 추정이 제일 높았다는 정보다.

다만 구조가 같다는 말과 그 현장에서 손해까지 쟀다는 말은 다르다. 폭을 잰 것은 실험실과 위 합성 경매이고, 현장에 남은 기록은 낙찰 기업들의 수익률이 해마다 낮았다는 유전 임차 경매의 관찰이다. 그래도 마지막에 할 일은 어느 자리에서나 같다. 이길 만한 값을 적었다면, 부르기 전에 그 값에서 먼저 깎는다.

이 글은 검증 기록이며, 특정 종목이나 상품의 매수·매도 권유가 아니다.

더 읽기

• Kagel, J.H., "Common Value Auctions and the Winner’s Curse: Lessons from the Economics Laboratory", Ch. 4 in The Economics of Risk, W.E. Upjohn Institute, 2003, pp. 65–101. https://doi.org/10.17848/9781417505937.ch4 — 이 글의 실험 수치는 전부 이 문헌에서 옮겼다. Table 4.1이 Kagel 등(1989), Table 4.2가 Kagel·Levin(1986), 항아리 경매가 Bazerman·Samuelson(1983)의 요약이다.
• Koch, Christian, and Stefan P. Penczynski, "The winner’s curse: Conditional reasoning and belief formation", Journal of Economic Theory 174, 2018, pp. 57–102. https://doi.org/10.1016/j.jet.2017.12.001
• 동전 던지기로 그린 랜덤워크 차트는 진짜 주가 차트와 구별되지 않는다 — 이 시리즈의 앞 편.