정보 폭포 항아리 실험 — 앞사람 둘의 선택이 같으면 셋째부터는 내 정보를 버리는 게 합리적이다

국숫집 두 곳, 앞사람 둘의 선택

처음 가는 동네에서 나란히 붙은 국숫집 두 곳을 만났다고 하자. 미리 찾아본 후기는 왼쪽이 낫다고 했는데, 바로 앞사람 둘이 연달아 오른쪽 가게로 들어간다. 어느 쪽으로 들어가는 게 맞을까.

오른쪽을 고르는 것은 소신이 없어서가 아니다. 앞사람 둘도 각자 나름의 근거를 들고 왔을 테고, 그 근거 둘이 내 후기 하나보다 무겁다면 따라가는 쪽이 계산상 맞다. 정작 내게 보이는 것은 그들의 근거가 아니라 발걸음뿐이다. 그 발걸음 하나에 근거가 한 조각씩 들어 있는 셈이다. 그러니 문제는 사람들이 계산을 못 해서 생기는 것이 아니라, 계산이 정확히 맞아떨어질 때 생긴다.

이런 상황을 실험실에서 재현하려면 각자가 가진 정보의 정확도를 알아야 하는데, 후기나 소문은 그 값을 매길 수가 없다. 그래서 경제학자들은 국숫집 대신 항아리와 공을 쓴다. 공 하나가 참을 가리킬 확률을 2/3처럼 딱 정해 놓을 수 있기 때문이다. 이 글은 그 계산을 항아리 규칙 하나로 옮긴 다음, 게임을 2만 주기 굴려 무슨 일이 벌어지는지 확인한다.

정보 폭포 항아리 실험 — 세기 규칙과 답부터

Anderson·Holt의 1997년 논문에 실린 실험 설정은 이렇다. 항아리 A에는 a공 2개와 b공 1개가, 항아리 B에는 반대로 a공 1개와 b공 2개가 들어 있다. 주사위로 둘 중 하나를 고르지만 참가자는 어느 쪽이 뽑혔는지 모른다. 여섯 명이 차례로 그 항아리에서 공을 하나씩 꺼내 자기만 보고 도로 넣은 뒤, 어느 항아리인지를 모두가 듣는 자리에서 예측한다. 맞히면 2달러를 받는다.

각자 손에 쥔 정보는 공 하나뿐이다. 그 공이 참 항아리를 맞게 가리킬 확률은 2/3이고, 대신 앞사람들이 뭐라고 예측했는지는 전부 들었다. 국숫집 앞에서와 같은 상황을 규칙으로 좁혀 놓은 것이다.

여기서 필요한 계산은 생각보다 단순하다. 앞사람이 A라고 말했다면 그 사람은 a공을 봤다는 뜻이고, B라고 말했다면 b공을 봤다는 뜻이다. 즉 남의 결정을 거꾸로 읽어 공을 세면 된다.

단 이렇게 읽어낼 수 있는 것은 자기 공을 근거로 말한 결정뿐이다. 앞사람을 따라가느라 자기 공을 쓰지 않은 결정은 아무 공도 보여 주지 않으므로, 뒤에 선 사람은 그 말을 듣고도 셀 것이 없다. 여섯 명이 차례로 말해도 세어야 할 공은 그보다 적을 수 있다는 뜻이다. 앞으로 ‘드러난 공’이라고 하면 이렇게 세어 남은 공만 가리킨다. 국숫집 앞에서도 마찬가지다 — 앞사람 열 명이 줄을 섰다고 해서 그 줄이 근거 열 조각을 지고 있는 것은 아니고, 그 이유는 뒤에서 다시 확인한다.

지금까지 드러난 a공 수에서 b공 수를 뺀 값을 차이라고 부르자. 차이가 0이거나 ±1이면 내 공 하나가 판단을 뒤집을 수 있으니 내 공을 따른다. 차이가 2 이상 벌어지면 내 공 하나로는 못 뒤집으니 다수 쪽을 말한다. 베이즈 정리를 제대로 적용한 결과가 정확히 이 세기 규칙과 같다.

그러면 앞의 두 사람이 같은 답을 낸 순간 차이는 곧바로 2가 된다. 세 번째 사람부터는 자기 공이 무엇이든 앞의 둘을 따르는 편이 이득이 크다. 정보 폭포가 시작되는 자리가 여기다. 세 번째 사람이 무슨 공을 봤는지는 그의 예측에서 읽어낼 수 없고, 그다음 사람도 같은 처지가 된다. 차이는 2에 머문 채 줄만 길어진다.

결과부터 말한다. 신호 정확도가 2/3일 때 첫 두 사람이 같은 답을 낼 확률은 5/9, 그러니까 55%다. 폭포는 절반 넘게 세 번째 사람에서 시작한다. 그리고 그렇게 시작된 폭포가 참 항아리를 맞게 가리킬 확률은 5분의 4다.

앞의 두 사람이 같은 답을 냈다면 둘 다 맞았거나 둘 다 틀렸거나 둘 중 하나다. 둘 다 맞을 확률을 그 두 경우의 합으로 나누면 폭포가 옳을 확률이 나온다. 공 하나가 참을 맞게 가리킬 확률을 $p$라고 쓰면 식은 이렇게 된다.

식 1의 $p$에 2/3을 넣으면 4/5다. 시작된 폭포 다섯 개 중 하나는 틀린 쪽으로 굳는다는 뜻이다. 이 값은 폭포의 정확도 천장이기도 한데, 그건 뒤에서 확인한다. 먼저 한 주기를 그대로 찍어 보면 규칙이 어떻게 굴러가는지 보인다. 아래는 그런 장면이 보이도록 고른 한 주기다 — 참 항아리가 B인데 앞의 두 사람이 a공을 뽑았다.

import random

random.seed(20260823)
truth = random.choice(["A", "B"])            # 주사위로 고른 참 항아리
diff = 0                                     # 공개된 결정에서 읽어낸 a 수 - b 수
for i in range(1, 7):
    ball = truth if random.random() < 2 / 3 else ("B" if truth == "A" else "A")
    mine = 1 if ball == "A" else -1
    if abs(diff) >= 2:                       # 내 공 하나로는 못 뒤집는다
        say, kept = (1 if diff > 0 else -1), False
    else:                                    # 내 공이 판단을 바꾼다
        say, kept = mine, True
        diff += mine
    mark = "" if kept else "   <- 자기 공을 버림"
    print(f"{i}번째: 공 {ball} -> 예측 {'A' if say > 0 else 'B'}, 누적 차이 {diff}{mark}")
print("참 항아리:", truth)

1번째: 공 A -> 예측 A, 누적 차이 1
2번째: 공 A -> 예측 A, 누적 차이 2
3번째: 공 A -> 예측 A, 누적 차이 2   <- 자기 공을 버림
4번째: 공 A -> 예측 A, 누적 차이 2   <- 자기 공을 버림
5번째: 공 B -> 예측 A, 누적 차이 2   <- 자기 공을 버림
6번째: 공 B -> 예측 A, 누적 차이 2   <- 자기 공을 버림
참 항아리: B

세 번째부터는 아무도 자기 공을 쓰지 않았다. 다섯 번째와 여섯 번째는 참 항아리를 가리키는 b공을 손에 들고도 A라고 말했다. 그 두 개의 공은 어디에도 기록되지 않은 채 사라졌다. 누적 차이가 2에서 멈춰 있는 것이 그 사실을 그대로 보여 준다 — 뒤의 네 사람이 무슨 공을 봤는지 이 숫자는 모른다. 여섯 명이 한목소리로 같은 답을 냈지만 그 답을 떠받치는 정보는 처음 두 개뿐이다. 주기 열두 개를 나란히 늘어놓으면 같은 모양이 되풀이된다.

그림 1에서 점이 찍힌 칸이 자기 공을 버린 사람이다. 점은 굵은 테두리를 친 자리, 곧 폭포가 시작된 자리부터만 나타난다. 한 줄이 한번 한쪽 색으로 넘어가면 그 줄은 끝까지 그 색으로 간다.

폭포가 버리는 정보의 양

줄이 길어지면 정확해질 것 같지만 그렇지 않다. 사람 수를 30명으로 늘려 2만 주기를 굴려 봤다. k번째 사람의 정답률은 1번째 66.9%, 3번째 74.2%, 10번째 80.0%, 30번째 80.5%였다. 세 번째 사람 이후로는 사실상 오르지 않는다. 앞서 계산한 4/5가 이 천장이다.

같은 30명이 각자 본 공을 전부 공개하고 다수결을 했다면 정답률은 96.9%다. 순서대로 한 명씩 말하게 했을 뿐인데 답이 그만큼 나빠진다. 80.5%와 96.9%의 차이가 폭포가 지운 정보의 양이다.

그림 2에서 두 곡선이 벌어지는 폭이 그 손실이다. 위는 공을 전부 모았을 때, 아래는 순서대로 공개하기만 했을 때 닿는 곳이다. 순서대로 말하는 줄은 아래쪽 선에 갇힌다.

사람 수를 늘려도 줄지 않는 틀린 폭포

그렇다면 사람을 더 세우면 어떻게 될까. 신호 정확도 $p$를 0.525에서 0.975까지 바꿔가며 6명짜리 줄과 20명짜리 줄을 각각 1만 주기씩 굴렸다. 나온 주기를 맞는 폭포·틀린 폭포·폭포 없음 세 갈래로 나눠 세어 봤다.

그림 3에서 세로선 바로 오른쪽 격자점(p=0.675)을 보면 맞는 폭포 74.7%, 틀린 폭포 16.8%, "폭포 없음" 8.5%로 갈린다. 같은 계산을 20명으로 늘리면 폭포 없음 영역은 0.1%까지 줄어든다. 그런데 틀린 폭포 비율은 19.5%로 줄지 않고 오히려 조금 늘었다. 폭포 없음이 맞는 폭포와 틀린 폭포로 나뉘어 갔을 뿐이다.

실험실에서도 같았다 — Anderson·Holt(1997) 대조

지금까지는 전부 시뮬레이션이다. 실제 사람으로 돌린 결과와 맞춰 보자. Anderson·Holt는 학부생 72명을 데리고(대칭·비대칭 설계 12세션 전체) 이 게임을 시켰다.

갈리는 곳은 사람이 실제로 어떻게 행동했느냐다. 그 56주기 중 41주기에서 실제로 폭포 행동이 나왔고, 최적 결정이 자기 공과 어긋난 결정 기회 가운데 26%에서 자기 공을 고집하는 이탈이 나왔다. 이 이탈률을 시뮬레이션에 넣자 행동 관찰률이 77.7%로 실험의 73.2%에 가까워졌다.

폭포는 왜 쉽게 깨지는가

폭포 안의 결정은 정보를 더하지 않는다. 열 명이 줄줄이 같은 답을 낸 뒤에도 그 답 뒤에 쌓인 정보는 처음 두 사람의 공 두 개뿐이다. 그래서 누구의 결정도 아닌 공개 신호 하나를 열한 번째 순서 직전에 끼워 넣으면 줄 전체가 되돌아갈 수 있다.

20명짜리 줄 2만 주기에서 실제로 그렇게 해 봤다. 주입 시점에 폭포 상태였던 19,649주기 중 8.8%인 1,735주기에서 최종 방향이 뒤집혔다. 틀린 폭포만 따로 보면 3,947건 중 1,372건, 34.8%가 바로잡혔다.

군중의 크기는 확신의 근거가 아니다

폭포는 각자가 자기 앞의 정보를 정확히 저울에 올린 결과로 생긴다. 앞의 결정 둘이 이미 한쪽으로 기울여 놓았다면 내 공 하나를 더 얹어도 눈금은 움직이지 않고, 그때는 자기 공을 버리는 편이 이득이 크다. 그렇게 버려진 공은 다음 사람에게 전달되지 않는다.

앞사람을 따르는 결정이 늘 정보를 지우는 것은 아니다. 차이가 아직 벌어지지 않았을 때 앞사람과 같은 답을 낸 사람은 자기 공을 근거로 그렇게 말한 것이고, 그 결정은 정보를 한 조각 더한다. 갈림길은 차이가 2에 닿는 순간이다. 그 뒤로 들어오는 공은 아무 데도 남지 않는다.

그래서 줄 밖에서 확인할 것은 하나다. 앞의 결정들에서 실제로 드러난 정보가 몇 조각인지 세어 보면 되고, 그 수는 줄의 길이와 따로 논다. 열 명이 선 줄과 두 명이 선 줄이 똑같이 두 조각을 지고 있을 수 있고, 그 두 조각은 밖에서 온 정보 한 조각에 흔들린다. 줄이 길다는 사실이 말해 주는 것은 앞에 사람이 많다는 것뿐이다.

정보를 가지지 않은 쪽이 오히려 집단의 결정을 되돌리는 경우는 이 블로그의 정보 없는 개체 편에서 다뤘다. 거기서 정보 없음은 완고한 소수를 밀어내는 힘이었고, 여기서는 앞사람을 따르느라 자기 정보를 버리는 쪽이 줄을 얇게 만든다.

더 읽기

• L. R. Anderson & C. A. Holt, "Information Cascades in the Laboratory", American Economic Review 87(5), 847–862 (1997) — 항아리 실험 원 논문. https://econweb.ucsd.edu/~jandreon/Econ264/papers/Holt%20Anderson%20AER%201997.pdf
• S. Bikhchandani, D. Hirshleifer, I. Welch, "A Theory of Fads, Fashion, Custom, and Cultural Change as Informational Cascades", Journal of Political Economy 100(5), 992–1026 (1992) — 정보 폭포 모형의 원본.
• S. Bikhchandani, D. Hirshleifer, O. Tamuz, I. Welch, "Information Cascades and Social Learning" (NBER 워킹페이퍼 2021, 공개 PDF 2022판) — 폭포의 취약성과 이후 연구를 정리한 서베이. https://tamuz.caltech.edu/papers/cascades_survey.pdf