별 셋이 서로 끌어당기며 도는 길은 「풀 수 없다」고 널리 알려져 있다. 그런데 증명된 것은 그 길을 식 하나로 적는 한 가지 방법이 막혔다는 것까지다. 길을 구하는 답은 1912년에 나왔지만 너무 느려 쓸 수 없어서, 지금은 컴퓨터로 한 걸음씩 계산한다. 이렇게 서로 끌어당기는 세 천체의 길을 구하는 문제를 삼체 문제(three-body problem)라고 한다.
소설이나 드라마 「삼체」의 제목은 세 개의 천체를 가리킨다. 작품을 보고 나면, 그 세 천체의 문제가 왜 「풀 수 없다」고 불리는지 궁금해진다. 삼체 문제는 왜 못 푼다고 할까?
「못 푼다」가 가리키는 것은 한 가지 방법이다. 움직여도 값이 변하지 않는 양을 실마리로 식을 줄여 가서, 세 천체의 길을 식 하나로 적는 방법이 막혔다는 말이다. 흔히 알려진 것과 달리, 길 자체를 구하는 답은 1912년에 끝없이 이어 더하는 식으로 나왔다. 다만 그 식은 쓸 수 없을 만큼 느리다. 그래서 실제로는 컴퓨터로 한 걸음씩 계산하는데, 어떤 배치는 처음 위치를 아주 조금만 바꿔도 길이 갈라진다. 이 글은 조금 흔들어도 제 길을 지키는 배치와, 누가 튕겨 나갈지까지 바뀌는 배치를 직접 흔들어 견준다.
삼체 문제에서 막힌 한 가지 방법
해와 행성 하나처럼 천체가 둘뿐이면 사정이 간단하다. 서로 붙잡혀 도는 두 천체는 타원을 그린다. 그 타원은 처음 위치와 속도만 알면 한 모양으로 정해지고, 길의 모양이 식으로 적힌다. 어느 시각에 길 위 어디에 있는지는 방정식 하나를 더 풀어야 나온다. 이 글이 같은 질량의 두 천체로 그 식의 답과 컴퓨터로 짧은 시간씩 이어 계산한 답을 견주어 보았다. 두 천체가 가장 멀 때와 가장 가까울 때 거리의 평균을 1로 잡으면, 두 답은 100바퀴 내내 1억분의 3이 안 되는 차이로 겹쳤다.
둘일 때 이렇게 되는 데에는 실마리가 있다. 천체가 움직이는 동안에도 값이 변하지 않는 양으로, 에너지가 그 하나다. 이런 양이 충분히 많으면, 그것을 하나씩 써서 따져야 할 식을 줄여 가다가 마지막에 길을 식으로 적을 수 있다.
에너지 말고도, 천체들이 서로의 둘레를 함께 도는 기세 역시 움직이는 동안 변하지 않는다. 그 기세를 잰 값을 각운동량이라고 한다. 셋에도 이렇게 변하지 않는 양은 있다. 무게중심의 움직임에서 6개, 각운동량에서 3개, 에너지에서 1개로 모두 10개다. 그러나 셋의 길을 식으로 적기에는 이것으로 모자랐다. 물음은 더 찾으면 나오느냐였다.
독일 수학자 하인리히 브룬스(Heinrich Bruns)는 1887년, 위치와 속도로 적히는 특정한 꼴(대략 다항식과 근호로 짜인 식)의 변하지 않는 양을 모두 찾으려 했다. 그가 증명한 답은 이미 알려진 10개뿐이라는 것이었다. 이 결론은 세 천체의 질량이 얼마든 성립하고, 그 꼴 안에서는 더 찾아도 새로운 양이 나오지 않는다.
프랑스 수학자 앙리 푸앵카레는 그보다 넓은 꼴, 곧 값이 하나로 정해지는 매끄러운 식까지 따졌다. 1890년에는 셋 중 하나가 아주 가벼운 단순한 경우를 다뤘다. 그 경우 그런 양은 에너지에 해당하는 것 말고는 없음을 보였다. 1892년에 낸 천체역학 책 1권에서는 셋 일반에서도, 에너지와 각운동량 말고는 그런 양이 없다고 결론지었다. 다만 이 결론은 질량이 충분히 작을 때의 이야기다. 수학자 Florin Diacu는 1996년 해설에서 브룬스와 푸앵카레의 결과를 소개한 뒤, 천체가 여럿인 문제를 두고 이렇게 적었다.
This does not mean that the n-body problem is unsolvable, just that a certain method fails to solve it.
(이것은 천체가 여럿인 문제를 풀 수 없다는 뜻이 아니다. 어떤 한 방법으로는 풀리지 않는다는 것일 뿐이다.)
Florin Diacu, 「The Solution of the n-body Problem」, The Mathematical Intelligencer 18(3), 1996, 68쪽같은 해설에서 Diacu는, 이 결과들의 한 면만 전해지면서 「천체가 여럿인 문제는 풀 수 없다」는 잘못된 말이 퍼졌다고 덧붙였다. 백과사전 Scholarpedia의 해설(2007)도 같은 쪽이다. 19세기 말부터 나온 여러 증명은 대체로 「변하지 않는 양으로 풀 수 없다」는 말을 꽤 좁은 뜻으로 정해 두고 보인 것이라는 설명이다.
또 변하지 않는 양이 모자란다는 것이 운동이 복잡하다는 말과 같은 것도 아니다. Whittaker의 교과서(1917)는 이런 양이 없다고 해서 그 운동이 꼭 아주 복잡한 것은 아니라고 적어 두었다. 두 정리가 막은 것은 변하지 않는 양으로 식을 줄여 길을 한 식에 담는 방법 하나였고, 세 천체의 길을 구하는 다른 방법까지 막은 것은 아니었다.
풀었지만 쓸 수 없는 답
카를 순드만(Karl F. Sundman)은 다른 방법으로 세 천체의 길을 적었다. 위치를 끝없이 이어 더하는 식으로 나타낸 것이다. 항을 하나씩 더해 갈수록 값이 한 곳으로 모이고, 그렇게 모인 값이 그 시각의 위치가 된다. 순드만은 1909년 무렵 이 결과를 얻었고, 1912년에 한 편의 긴 논문으로 정리해 발표했다.
이 답에는 조건이 있다. 세 천체 전체의 각운동량이 0이 아니면, 천체끼리 부딪히는 일이 있든 없든 이 식이 모든 시간의 움직임을 나타낸다. 빠지는 것은 각운동량이 0인 운동 전체다. 셋이 한꺼번에 부딪히는 일도 각운동량이 0일 때만 일어나므로, 이 조건 안에서는 그런 충돌이 없다.
문제는 이 식이 얼마나 빨리 모이느냐였다. 벨로리즈키(Belorizky)는 1930년, 답이 이미 알려진 경우에 순드만의 방법을 그대로 써 보았다. 세 천체가 정삼각형을 이룬 채 도는 해다. 답을 아는 경우라서, 순드만의 식이 그 답에 얼마나 빨리 다가가는지를 셀 수 있다.
작은 두 천체의 질량은 각각 세 천체 전체 질량의 200분의 1로 두었다. 그리고 약 두 달 뒤의 위치를 소수 첫째 자리까지만 맞히려 해도, 항이 $10^{8\cdot 10^{6}}$개보다 많이 필요했다. 1 뒤에 0이 800만 개 붙은 수다. 그는 이 식에 가장 유리하다고 꼽은 경우, 곧 세 질량이 같은 경우로 어림셈도 해 보았다. 반지름이 1,000억 광년인 공을 빈틈없이 채운 전자의 개수만큼 항을 더한다고 가정한 것이다. 그만큼 더한다 해도, 끝없이 더했을 때 모일 값의 1,000분의 2에도 못 미쳤다.
Whittaker의 교과서도 이 점을 짚었다. 순드만이 적은 과정을 실제로 해내는 데에는 큰 어려움이 따른다는 것이다. Diacu도 같은 해설에서, 반올림 오차 때문에 이런 식은 컴퓨터로 하는 수치 계산에도 쓸 수 없다고 적었다. 그래서 세 천체의 길은 식이 아니라 계산으로 따라간다. 답이 없어서가 아니라, 있는 답이 너무 느려서다.
컴퓨터로 한 걸음씩 따라간 두 배치
컴퓨터는 아주 짧은 시간 동안 세 천체가 어떻게 움직이는지 계산하고, 그 끝에서 다음 짧은 시간을 다시 계산한다. 식 하나로 적는 대신, 길을 짧은 조각으로 나눠 이어 붙이는 셈이다. 이것을 수없이 되풀이하는 방식으로, 이 글은 두 배치를 따라갔다.
하나는 8자 궤도다. 같은 질량의 세 천체가 8자 모양 곡선 하나를 서로 쫓으며 도는 길이다. Cristopher Moore가 1993년 컴퓨터로 이 길을 먼저 찾았다. 그런 길이 정말 있음은 2000년에 Chenciner와 Montgomery가 증명했다. 이 길에서 세 천체 전체의 각운동량은 0이다. 같은 질량에 각운동량이 0인 세 천체는 아직 관측으로 찾은 적이 없다고 Šuvakov와 Dmitrašinović는 2013년 논문에 적었다.
출발 위치와 속도는 Chenciner와 Montgomery 논문의 그림 1에 실린, Carles Simó가 계산한 수치다. 이 글이 그 수치로 한 바퀴를 계산하자 세 천체가 처음 자리로 돌아왔고, 좌표마다 어긋난 값은 많아야 약 1억분의 3이었다. 처음 배치에서 양 끝 두 천체 사이가 2인 눈금으로 잰 값이다. 계산 방법과 걸음 크기를 바꿔도 이 값은 같았다. 그러니 이 어긋남은 계산 방법 쪽이 아니라, 논문에 소수 8자리까지만 적힌 수치 쪽에서 온 것이다. 그 수치에는 출발 위치·속도와 한 바퀴 시간이 다 들어 있고, 이 글은 그중 어느 것의 몫인지 나눠 보지 않았다.
다른 하나는 질량 3·4·5 배치, 줄여서 3-4-5 배치다. 질량이 3·4·5인 세 천체가, 세 변의 길이가 3·4·5인 직각삼각형의 꼭짓점에 멈춰 있다가 서로 끌려 움직이기 시작하는 배치다. 두 배치는 세 천체가 서로를 한 번 가로지르는 데 걸리는 시간이 3.77과 3.84로 거의 같다. 그래서 두 배치의 시간을 같은 눈금으로 견줘도 된다.
흔드는 방법도 같다. 천체 하나를 아주 조금 옮기고(8자 궤도는 그 천체가 가던 방향으로, 3-4-5 배치는 오른쪽으로), 옮기지 않은 원래 판과 나란히 계산한다. 두 판의 위치 차가 처음 배치에서 가장 먼 두 천체 거리의 10%를 넘는 때를 「갈라진 때」로 잡았다. 옮긴 거리는 그림 1에서 직접 바꿔 볼 수 있다. 멈춘 그림은 0.000001을 옮긴 판이다.
- 그림 1에서 「옮긴 거리를 10분의 1로 줄인 횟수」를 2부터 한 칸씩 올린다. 오른쪽 3-4-5 배치의 청록 선이 회색 선에서 떨어져 나오는 때와, 왼쪽 8자 궤도의 청록 고리가 곡선 위에 머무는지를 본다.
- 칸을 하나 올릴 때마다 두 판 아래 「갈라진 때」 칩의 숫자가 얼마나 늦어지는지 적어 두고 견준다. 칩은 그림의 시간(t = 65) 밖의 값도 보여 준다.
- 작품 「삼체」에서 무엇을 「풀 수 없다」고 말하는 문장을 하나 찾아, 이 글의 「식 하나로 적는 방법」과 같은 뜻인지 본다.
같은 계산에 같은 흔들기인데, 한 배치는 제 길을 지키고 다른 배치는 갈라진다. 그러니 컴퓨터가 길을 계산할 수 있다는 것과, 그 길이 처음의 작은 차이에 흔들리지 않는다는 것은 같은 말이 아니다. 둘은 배치마다 따로 따져야 한다.
박자만 밀리는 8자 궤도
8자 궤도를 흔들면 두 판의 위치 차는 시간에 비례해서만 자란다. 10억분의 1을 옮긴 판에서 그 차이는 10바퀴 뒤 옮긴 거리의 82.9배, 100바퀴 뒤 832배, 500바퀴 뒤 4,160배였다. 바퀴 수가 10배가 되면 차이도 거의 10배가 된다. 옮긴 거리를 1만분의 1까지 키워도 이 배수는 거의 그대로였다.
그렇게 자라는 동안에도 세 천체가 8자 곡선에서 벗어난 거리는 거의 자라지 않는다. 1만분의 1을 옮긴 판에서 곡선과의 거리는 처음 10바퀴에 최대 0.000149, 마지막 10바퀴에 최대 0.000155였다. 세 천체는 여전히 같은 8자 곡선 위에 있다. 자라는 것은 원래 판과 흔든 판이 곡선 위에서 앞서거니 뒤서거니 하는 박자의 차이다.
흔든 판은 한 바퀴를 원래보다 조금 더 오래 돈다. 늘어나는 비율은 옮긴 거리의 약 0.8배여서, 1만분의 1을 옮기면 한 바퀴 도는 시간이 1만분의 0.8쯤 길어진다. 이 작은 늦음이 바퀴마다 쌓이니, 차이가 시간에 비례해 자란다.
여기까지는 천체를 가던 방향으로 옮긴 경우다. 100만분의 1을 16가지 방향으로 나눠 옮겨 보면, 100바퀴 뒤의 배수가 649배에서 2,010배까지 방향마다 달랐다. 가던 방향이 아닌 쪽으로 옮기면 각운동량이 0에서 조금 벗어나 8자 전체가 아주 천천히 돌고, 그때는 곡선과의 거리도 시간에 비례해 자란다. 그래도 차이가 시간에 비례해 자라는 꼴은 16방향 모두 같았다.
시간에 비례해 자라는 차이는 식으로 풀리는 문제에서도 나온다. 앞에서 본 같은 질량의 두 천체도 천체 하나를 1억분의 1만큼 옮겨 흔들어 보았다. 차이는 10바퀴 뒤 옮긴 거리의 653배, 100바퀴 뒤 6,530배로 역시 시간에 비례해 자랐다. 한 바퀴 도는 시간이 조금 달라져, 원래 판과 흔든 판이 타원 위에서 어긋나기 때문이다. 그림 2에서 8자 궤도와 두 천체의 점은 「시간에 비례」 선과 같은 기울기로 오른다.
이 글이 8자 궤도를 따라간 것은 500바퀴까지다. 그 창 안에서 8자 궤도는 흔들려도 같은 곡선 위를 조금 늦게 돌 뿐이었다. 옮긴 거리가 1만분의 1 이상이면 이 늦음만으로 500바퀴 안에 「갈라진 때」의 문턱을 넘지만(100분의 1이면 t = 16.0), 그때도 세 천체는 8자 곡선에서 거의 벗어나지 않는다.
누가 튕겨 나갈지도 바뀌는 배치
3-4-5 배치에서 두 판의 차이는 처음에는 거의 자라지 않는다. 100만분의 1을 옮긴 판에서 위치 차는 t = 10에 0.0000027, t = 30에 0.0000029로 처음 옮긴 거리의 몇 배에 머문다. 그러다 t = 40에 0.0006, t = 50에 0.17, t = 60에 3.3으로 갑자기 커진다. t = 30에서 60 사이에 차이가 100만 배 넘게 불어난 것이다. 그림 2의 청록 점(10억분의 1을 옮긴 판)도 같은 꼴로, 시간에 비례하는 선보다 훨씬 가파르게 솟는다.
옮기는 방향을 16가지로 나눠 평균을 내면, 옮긴 거리를 1,000분의 1에서 10억분의 1까지 줄였을 때 갈라진 때는 38.2에서 76.0으로 약 두 배 늦어졌다. 10억분의 1에서는 16판 가운데 14판만 t = 100 안에 갈라져, 평균은 그 14판으로 냈다. 1,000분의 1의 평균도 걸음 수 한도에 걸려 계산이 멈춘 한 판을 뺀 15판으로 냈다. 그림 1의 칩이 보여 주는 한 방향의 값은 100분의 1에서 33.7, 10억분의 1에서 82.9다. 이 방향에서는 옮긴 거리를 10분의 1씩 줄일 때마다 늦어진 시간도 2.9에서 20.7까지 들쭉날쭉했다.
더 큰 차이는 결말에서 난다. 흔들지 않은 원래 판에서는 질량 4와 5가 짝을 이뤄 서로 돌고, 질량 3이 튕겨 나간다. 이것은 이 글이 계산한 원래 판 하나의 결말이다. 100만분의 1을 16가지 방향으로 나눠 옮기면, t = 100에 질량 3이 튕겨 나간 판이 7, 질량 4가 1, 질량 5가 1, 아직 아무도 나가지 않은 판이 7이었다. 1,000분의 1부터 1,000만분의 1까지는 이렇게 방향마다 결말이 갈렸다. 1억분의 1과 10억분의 1에서는 16판 모두 원래 판과 같은 결말이었는데, 그 까닭은 이 글의 계산으로 가리지 않았다.
천체 하나를 100만분의 1만큼 옮겼을 뿐인데, t = 100에 누가 짝으로 남고 누가 떠나 있는지까지 판마다 달라진 것이다. 처음 값의 아주 작은 차이가 시간이 지나며 결과를 통째로 바꾸는 운동이 있다. 이런 운동을 혼돈(카오스, chaos)이라고 한다. 이 글의 3-4-5 배치가 그렇다.
8자 궤도와 두 천체처럼 차이가 시간에 비례해 자라는 것은 혼돈이 아니다. 이 글의 3-4-5 계산은 한 걸음마다 봐주는 오차의 크기, 곧 허용 오차를 두 단계로 바꿔도 t = 100까지 같은 답을 냈다. 혼돈이라고 해서 계산을 못 하는 것은 아니다.
이 글의 계산은 위치와 속도를 소수 33자리 남짓(2의 −110제곱)까지 고정해 셌다. 짧은 구간마다 허용 오차를 $10^{-24}$와 $10^{-20}$ 두 단계로 바꿔, 같은 답이 나온 구간만 썼다. 보통 컴퓨터가 쓰는 소수 16자리 남짓의 계산으로는 3-4-5 배치에서 질량 4와 5가 0.0004까지 다가가는 t ≈ 15.8이 고비였다. 그때를 지나자 오차가 100억분의 1에서 1억분의 5.5로 뛰었다. 그래서 1억분의 1 이하로 옮긴 판을 원래 판과 가를 수 없었다. 이것은 이 글의 3-4-5 계산 조건에서 본 일이다.
시간 단위는 중력 상수를 1로 둔 단위이고, 8자 궤도 한 바퀴가 6.33이다. 일수나 연수가 아니다. 「갈라진 때」는 세 천체의 위치 차가 처음 배치에서 가장 먼 두 천체 거리의 10%를 넘는 때로, 8자 궤도는 0.2, 3-4-5 배치는 0.5다. 3-4-5 배치는 정해진 한 배치이고, 흔드는 방향은 한 방향만 옮긴 계산과 16방향으로 나눠 옮긴 계산, 두 가지다.
「못 푼다」에 겹친 증명·계산·발견
「삼체」를 보고 품은 물음으로 돌아가면, 그 물음 속 「못 푼다」에는 서로 다른 일이 여럿 겹쳐 있다. 증명으로 막힌 방법, 계산으로 확인한 느림, 컴퓨터가 먼저 찾은 궤도가 한 낱말 안에 섞여 있는 것이다. 아래 표는 그 일들이 쌓인 순서다.
| 해 | 누가 | 무엇을 보였나 | 성격 |
|---|---|---|---|
| 1887 | 하인리히 브룬스 | 셋의 운동에서 특정한 꼴의 변하지 않는 양은 이미 알려진 10개뿐이다 | 증명 |
| 1890 | 앙리 푸앵카레 | 셋 중 하나가 아주 가벼운 경우, 더 넓은 꼴의 변하지 않는 양도 에너지에 해당하는 것 말고는 없다 | 증명 |
| 1892 | 앙리 푸앵카레 | 셋 일반에서도 질량이 충분히 작으면, 에너지와 각운동량 말고는 그런 양이 없다 | 증명 |
| 1912 | 카를 순드만 | 각운동량이 0이 아니면, 끝없이 이어 더하는 식으로 모든 시간의 길을 적을 수 있다 | 증명 |
| 1930 | 벨로리즈키 | 그 식을 이미 풀린 경우에 써 보니, 소수 첫째 자리에도 항이 터무니없이 많이 든다 | 계산 |
| 1993 | Cristopher Moore | 같은 질량 셋이 8자 곡선 하나를 쫓아 도는 길을 컴퓨터로 찾았다 | 발견 |
| 2000 | Chenciner·Montgomery | 그 8자 궤도가 정말 있음을 증명했다 | 증명 |
위의 세 줄이 막은 것은 변하지 않는 양으로 식을 줄여 길을 한 식에 담는 방법이다. 1912년 줄은 다른 방법으로 답을 냈고, 1930년 줄은 그 답을 쓸 수 없다는 것을 셈으로 보였다. 마지막 두 줄은 컴퓨터가 먼저 찾고 증명이 뒤따른 길이다. 일곱 줄 가운데 세 천체의 길을 계산할 수 없다고 말하는 줄은 없다.
두 조건을 맞대 보면 하나가 더 보인다. 순드만의 식은 각운동량이 0이 아닐 때의 정리인데, 8자 궤도는 각운동량이 0이다. 1912년의 답은 하필 8자 궤도를 덮지 않는 셈이다.
계산에도 한계는 있다. 3-4-5 배치처럼 혼돈인 배치를 멀리까지 믿으려면, 처음 값과 계산을 그만큼 더 정밀하게 해야 한다. 삼체 문제를 「못 푼다」는 말은 식 하나로 줄여 쓰는 길이 막혔다는 뜻이지, 세 천체의 길을 계산할 수 없다는 뜻이 아니다.
더 읽기
- Florin Diacu, 「The Solution of the n-body Problem」, The Mathematical Intelligencer 18(3):66–70(1996), DOI 10.1007/BF03024313 — 저자 사본 http://web.archive.org/web/20240127140347/https://www.math.uvic.ca/faculty/diacu/diacuNbody.pdf
- Alain Chenciner, 「Three body problem」, Scholarpedia 2(10):2111(2007), doi:10.4249/scholarpedia.2111 — http://www.scholarpedia.org/article/Three_body_problem
- Alain Chenciner, Richard Montgomery, 「A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses」, Annals of Mathematics 152:881–901(2000) — https://arxiv.org/abs/math/0011268
- Cristopher Moore, 「Braids in classical dynamics」, Physical Review Letters 70:3675–3679(1993) — https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.70.3675
- Karl F. Sundman, 「Mémoire sur le problème des trois corps」, Acta Mathematica 36:105–179(1912) — https://archive.org/details/actamathematica36upps
- M. D. Belorizky, 「Application pratique des méthodes de M. Sundman à un cas particulier du problème des trois corps」, Bulletin Astronomique(2e série) 6:417–434(1930) — https://adsabs.harvard.edu/pdf/1930BuAst…6..417B
- H. Bruns, 「Über die Integrale des Vielkörper-Problems」, Acta Mathematica 11:25–96(1887) — https://archive.org/details/actamathematica11upps
- H. Poincaré, 『Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste』 Tome I, Gauthier-Villars(1892) — https://archive.org/details/lesmthodesnouv01poin
- E. T. Whittaker, 『A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies』 2판, Cambridge University Press(1917) — https://archive.org/details/cu31924001080294
- Milovan Šuvakov, V. Dmitrašinović, 「Three Classes of Newtonian Three-Body Planar Periodic Orbits」, Physical Review Letters 110:114301(2013) — https://arxiv.org/abs/1303.0181
- Carles Simó, 「New Families of Solutions in N-Body Problems」, European Congress of Mathematics(Barcelona 2000) Vol. I, Birkhäuser(2001), 101–115 — DOI 10.1007/978-3-0348-8268-2_6