밀레니엄 브리지 — 발맞춤이 아니라 균형 동작이 다리를 흔들었다

음의 감쇠(negative damping)는 감쇠 계수가 음수여서 흔들림에서 에너지를 빼는 대신 넣는 상태다. 2000년 런던 밀레니엄 브리지에서 그 역할을 한 것은 흔들리는 바닥 위에서 넘어지지 않으려는 균형 동작이었다. 다리는 사람들이 서로 발을 맞춰서가 아니라 그 동작의 편향만으로 진동 문턱을 넘었다.

런던, 2000년 6월 — 다리가 스스로 흔들렸다

왼쪽 패널에는 같은 보폭으로 발을 맞춰 걷는 사람들이 청록색으로, 오른쪽 패널에는 한쪽으로 기울어진 상판 위를 걷는 사람들이 주황색으로 그려진 다리 단면 비교 그림. 오른쪽에서는 발 옆의 작은 화살표가 모두 상판이 움직이는 방향을 가리키고, 상판 아래의 큰 주황색 화살표와 "음의 감쇠" 표지가 같은 방향을 다시 짚는다

2000년 6월 10일, 런던 템스강에 밀레니엄 브리지가 문을 열었다. 그날 하루 최대 10만 명이 이 다리를 건넜고, 한 번에 2,000명까지 다리 위에 있었다. 사람이 몰리자 상판이 좌우로 크게 흔들리기 시작했고, 코넬대 소식을 전한 2005년의 한 과학 기사는 그날 다리 위 사람들이 "머뭇거리는 스케이트 선수처럼" 걸었다고 묘사했다. 이틀 뒤 다리는 닫혔다.

숫자로 적으면 이렇다. 다리는 템스강을 건너는 길이 325 m 의 보도교이고, 흔들림이 심할 때 상판의 옆 방향 최대 가속도는 1.86~2.45 m/s² 에 이르렀다. 그때 다리 위 사람 밀도는 1.3~1.5 명/m² 였다. 흔들림은 계속 이어지지 않고 사람이 많이 오르면 나타났다가, 수가 줄면 잦아들었다. 다리가 다시 열린 것은 그로부터 한참 뒤다.

원인 설명은 곧 하나로 굳었다. 다리가 조금 흔들리자 사람들이 저도 모르게 그 흔들림에 발을 맞췄다. 맞춰진 발이 같은 방향으로 힘을 겹쳐 흔들림을 키웠다는 것이다. 2005년 Strogatz 연구팀이 이 설명을 Nature 에 정식 모형으로 적으면서 정설이 됐다.

앞의 과학 기사는 Strogatz 의 말을 두 대목 옮겼다. "닭이 먼저냐 달걀이 먼저냐 하는 문제다 (…) 그것이 바로 우리 논문이 설명하는 것이다." 이어서 "사람들이 처음엔 무질서하고 제각각이어도 몇 명이 우연히 박자가 맞으면 다리는 불안정해진다."

그리고 2021년, Belykh 연구팀이 Nature Communications 에 그 순서가 반대라고 주장하는 논문을 냈다. 발맞춤은 흔들림의 원인이 아니라 결과라는 것이다. 그 논문은 이 사례가 그때까지 쿠라모토(Kuramoto) 동기화의 널리 쓰이는 예로 통했다고 적었다. 그 주장이 서려면 감쇠라는 말부터 정리해야 한다.

감쇠가 음수가 되면 다리는 스스로 흔들린다

감쇠(damping)는 움직이는 것을 속도에 비례해 반대 방향으로 미는 힘이다. 감쇠 계수가 양수이면 흔들림에서 에너지를 빼앗아 잦아들게 하고, 음수이면 반대로 에너지를 넣어 키운다. 다리 자체도 양의 감쇠를 갖는다. 밀레니엄 브리지의 그 값은 29,251 N·s/m 이다. 다리 위에 사람이 없으면 흔들림은 이 값에 먹혀 저절로 잦아든다.

감쇠 계수가 0 아래로 내려가면 이야기가 뒤집힌다. 흔들림이 한 번 왕복할 때마다 다음 왕복이 조금 더 커진다. 처음의 흔들림은 누가 걷다가 우연히 만든 아주 작은 것이어도 상관없다. 자라는 방향이 정해져 있으면 시작점의 크기는 중요하지 않다.

문제는 사람이 올라섰을 때 이 값이 어느 쪽으로 움직이느냐다. 다리가 조금 흔들린다는 관찰 하나는 정설과 2021년 논문이 똑같이 출발점으로 삼는다. 갈리는 곳은 그다음이다.

그림 1. 같은 출발점에서 갈리는 두 설명. 위 가지는 발맞춤이 먼저 있어야 하고, 아래 가지는 발맞춤이 없어도 성립한다.

그림 1의 아래쪽 가지가 그럴듯하려면 넘어야 할 벽이 하나 있다. 사람들이 서로 무관하게 걷는다면 그 힘들은 평균적으로 상쇄되어야 하지 않느냐는 것이다. 거울상으로 걷는 두 사람을 놓고 계산해 보면 정지한 바닥에서는 실제로 그렇다. 한 사람이 상판에 주는 옆 방향 힘이 +32.2 N, 다른 사람이 −32.2 N 이고 합은 정확히 0이다. 그런데 바닥이 한쪽으로 5 mm 움직인 뒤 같은 계산을 하면 두 힘은 +29.0 N 과 −35.5 N 이 되고, 합은 0이 아니라 −6.4 N 이 남는다. 남은 힘의 방향은 다리가 방금 움직인 바로 그 방향이다.

논문은 이 지점을 직관이 틀리는 자리로 짚는다. 결맞음(coherence)이 없으면 모든 개체의 되먹임이 평균적으로 서로 지워질 것 같지만, 양의 되먹임은 그렇게 작동하지 않고 편향을 만든다는 것이다. 걸음의 위상이 제각각이어도 평균은 0이 아니다.

그래서 보행자 한 명은 다리의 감쇠 계수에 자기 몫 σ 를 더한다. 사람이 N 명이면 다리의 총 감쇠는 원래 값에 Nσ 가 더해진 값이고, σ 가 음수라면 사람이 늘수록 그 합이 0을 향해 내려간다. 0을 지나는 인원이 흔들림이 스스로 켜지는 문턱이며, 그 값은 다리의 고유 감쇠를 한 사람 몫으로 나눈 수다.

(1) $$ \begin{aligned} c_T &= c_0 + N\sigma \\ N_{\mathrm{crit}} &= -\frac{c_0}{\sigma} \end{aligned} $$

식 1의 아랫줄이 이 글의 답이다. 흔들림을 켜는 것은 박자가 아니라 한 사람 몫의 σ 이고, 필요한 것은 발맞춤이 아니라 머릿수다. 이 식은 문턱 아래에서는 아무 일도 일어나지 않는다고도 말한다. 사람이 한 명 늘 때마다 흔들림이 조금씩 커지는 것이 아니다. 문턱을 넘기 전까지는 잠잠하고, 넘는 순간 켜진다. 개통일에 흔들림이 사람 수에 따라 나타났다 사라졌다 한 것이 정확히 이 모양이다.

이 설명은 2021년에 처음 나온 것이 아니다. 다리를 다시 설계한 Arup 은 2000년 여름 다리 위에서 100명을 걷게 한 실험을 했고, 그 결과를 두고 보행자가 "음의 감쇠기"로 작동해 다리의 고유 감쇠를 깎는다고 적었다. 개통 나흘 뒤에는 노벨상 수상자 Josephson 이 신문에 편지를 보냈다. 이 문제는 사람들이 발을 맞추는 것과 거의 관계가 없고, 바닥이 움직이기 시작할 때 균형을 잡으려는 행동과 연결돼 있다는 내용이었다.

보행자 한 명은 다리를 얼마나 흔드는가

σ 가 실제로 얼마인지는 재 보면 된다. 논문의 모형을 다시 짜서 다리를 진폭 6 mm, 1.035 Hz 로 강제로 흔들어 놓고 그 위에서 60명을 걷게 했다. 몸무게·다리 길이·걸음 진동수는 논문이 실은 분포에서 뽑았고, 매 걸음 발을 어디에 놓을지는 균형을 유지하는 규칙 하나가 정한다.

60명의 값을 모으면 평균은 −209 N·s/m 이었다. 부호가 중요한데, 60명 전원이 음수였다 — 한 사람도 빠짐없이 다리에 에너지를 넣고 있었다는 뜻이다. 상판 기준 규칙으로 걷게 했을 때의 값이고, 땅 기준 규칙으로 바꾸면 −83 N·s/m 으로 크기가 작아진다. 크기는 두 배 넘게 벌어지지만 부호는 둘 다 음수다.

상대 속도 법칙과 절대 속도 법칙으로 각각 계산한 보행자 60명의 개별 유효 감쇠 분포 두 개가 겹쳐 그려져 있고, 두 분포 모두 0 기준선 왼쪽에 완전히 몰려 있다 — **그림 2.** 60명의 개별 값. 범례의 상대는 상판 기준, 절대는 땅 기준 규칙이다. 규칙을 어느 쪽으로 잡아도 0 오른쪽에 놓인 사람은 없다.

그림 2의 두 분포를 식 1에 넣으면 문턱 인원이 나온다. 상판 기준 규칙의 평균값부터 넣는다.

C = 29251.0        # 다리 고유 감쇠 (N·s/m)
c_ped = -208.55    # 보행자 1인 평균 유효 감쇠 (N·s/m)
print(round(C / -c_ped, 1))

140.3

140.3, 올림하면 141명이다. 땅 기준 규칙으로 계산하면 354명이 된다. 개통일 상판의 최대 2,000명에 견주면 어느 쪽이든 흔히 있던 인원 안쪽이다.

박자를 맞출 수 없어도 다리는 폭주한다

문턱 계산과 달리 실제로는 사람이 하나씩 올라오고 그동안 진폭도 자란다. 그래서 보행자를 10초에 한 명씩 태우며 다리와 사람을 함께 푸는 시뮬레이션을 두 번 돌렸다. 하나는 걸음 박자를 절대 바꾸지 못하는 모형이고, 다른 하나는 걸음 시각을 앞뒤로 옮길 수 있는 모형이다. 앞의 모형에서는 동기화가 원리적으로 일어날 수 없다.

박자가 얼마나 맞았는지는 질서변수(order parameter) r 이라는 수 하나로 잰다. 모두의 걸음 위상을 모아 평균한 크기다. 제각각이면 0에 가깝고 전원이 한 박자면 1이 된다. 사람이 N 명일 때 완전히 무작위여도 우연히 $1/\sqrt{N}$ 정도는 나오므로, 그 선과 비교해야 의미가 있다.

위 패널은 보행자 수에 따른 다리 진폭을 로그축으로 그린 선 두 개와 예측 문턱을 표시한 세로 점선, 아래 패널은 같은 가로축에서 질서변수 r 두 개와 무작위 기대선을 그린 이패널 그래프 — **그림 3.** 위 진폭, 아래 박자. 진폭이 먼저 자라고 r 은 한참 뒤에야 올라간다.

그림 3의 위 패널에서 박자를 못 바꾸는 모형은 163명째부터 진폭이 자라기 시작해 한 명 늘 때마다 1.28배씩 커졌다. 아래 패널에서 그동안의 r 은 평균 0.097 이었고, 무작위 기대값은 0.101 이었다. 박자는 끝까지 맞지 않았는데 다리는 폭주했다. 박자를 바꿀 수 있는 모형은 148명째부터 자라기 시작했고, 진폭이 42 mm 에 이를 때까지도 r 은 0.19 였다. r 이 0.75 로 뛰어오른 것은 164명째다. 그 뒤 r 은 0.89 근처에 머물고 진폭은 51 mm 에서 더 자라지 않는다.

발맞춤은 불안정보다 16명 늦게 왔다. 왔을 때 한 일은 진폭을 키우는 것이 아니라 멈춰 세우는 것이었다. 식 1로 예측한 140명과 관측한 148~163명은 같은 수가 아니다. 예측은 6 mm 로 흔들리는 다리 위에서 잰 한 사람 몫에, 사람이 처음부터 다 올라와 있다고 놓고 다리의 고유 감쇠를 나눈 값이다. 관측은 진폭이 1 mm 를 넘고 다섯 창 연속으로 커진 시점이다. 시드를 바꿔 가며 여러 번 돌린 것이 아니라 한 번의 시뮬레이션 결과다.

공진이 제일 위험한 것도 아니다

흔들리는 물체 하면 공진부터 떠오른다. 걸음 진동수와 다리 진동수가 맞는 자리가 가장 위험하리라는 짐작이다. 다른 40명 표본으로 진동수비만 바꿔 가며 한 사람 몫의 감쇠를 다시 재면 그 짐작이 어긋난다.

가로축이 다리 진동수와 걸음 진동수의 비, 세로축이 보행자 1인의 유효 감쇠인 그래프. 두 균형 규칙의 평균선과 5~95퍼센타일 띠가 겹쳐 있고 0 기준선과 공진·밀레니엄 브리지 두 자리에 세로 표식이 있다 — **그림 4.** 상판 기준 규칙은 1.35 부근에서 가장 위험하고, 공진 자리에서는 개인차가 가장 넓게 갈린다.

감쇠가 가장 음수인 자리가 곧 문턱 인원이 가장 작은 자리다. 그림 4에서 상판 기준 규칙의 그 자리는 진동수비 1.35 근처이고, 문턱은 132.3 명이다. 공진인 1.00 에서는 202.4 로 훨씬 크다. 공진은 최악이 아니라 문턱 인원이 내려가는 길의 한 지점이다.

대신 공진에서는 사람마다의 편차가 가장 크게 벌어진다. 하위 5%가 −234 인데 상위 5%는 +20 으로 부호가 반대여서, 어떤 사람은 다리를 흔드는 대신 붙잡아 세우고 있었다. 밀레니엄 브리지의 진동수비 1.15 에서는 두 규칙의 평균이 모두 0 아래다.

그림 4에서 상판 기준 규칙은 낮은 비에서 양수였다가 음수로 내려가고, 땅 기준 규칙은 거꾸로 높은 비에서 양수가 된다. 어느 쪽이 실제 걸음에 더 가까운지는 논문도 "실험 증거가 제한적"이라고 적었다. 다만 가상현실(VR) 실험 하나는 땅 기준 규칙 쪽을 가리킨다고 덧붙였다. 그러니 이 글이 앞세운 −209 와 141명은 증거가 기운 쪽 값이 아니고, 땅 기준의 −83 과 354명도 같은 무게로 봐야 한다.

정설을 뒷받침할 직접 증거는 거의 없었다

모형 이야기를 접어 두고 관측만 봐도 정설은 힘이 약하다. 논문은 옆으로 흔들린 다리 서른 곳 이상을 표로 모았는데, 그중 발맞춤의 직접 증거가 잡힌 사례는 거의 없다. 가장 확정적인 연구조차 군중의 약 20%만 다리 움직임에 박자를 맞췄다고 추정했고, 그 연구의 대상은 밀레니엄 브리지가 아니라 일본의 도다 파크 브리지다. 밀레니엄 브리지 자체는 경간마다 다른 진동수로 흔들렸다. 다리를 다시 설계한 Arup 이 Ingenia 에 남긴 기록은 중앙 경간 0.49 Hz, 남쪽 경간 0.77 Hz, 북쪽 경간 1.05 Hz 에서 흔들림을 적었다(북쪽은 덜 흔들렸다). 걷는 박자 하나로 이 셋을 다 맞출 수는 없다.

the view that the instability … was caused by a textbook example of synchronisation of coupled pedestrians is wildly inaccurate, at best misguided

그 불안정이 결합된 보행자들의 교과서적인 동기화 사례 때문에 일어났다는 견해는 몹시 부정확하고, 잘해야 잘못 짚은 것이다.

Belykh et al., *Nature Communications* 12:7223 (2021)

Arup 이 2001년에 남긴 기록도 같은 방향을 가리킨다. 그들은 보행자가 다리에 주는 평균 옆 방향 힘을, 다리의 옆 방향 속도에 상수를 곱한 값으로 적었다. 속도에 비례하는 힘은 감쇠 항과 정확히 같은 모양이고 부호만 반대다. 그래서 그들은 다리의 고유 감쇠를 0으로 깎는 데 필요한 임계 인원이 있다고 곧바로 적었다. 발맞춤은 그 설명 어디에도 필요하지 않았다.

설계 쪽 결론은 그래서 단순해진다. 피해 가면 되는 마법의 진동수 같은 것은 없고, 남는 답은 옆 방향 감쇠를 충분히 확보하는 것뿐이다. Arup 은 자기들의 실험에서도 문제가 되는 진동수의 하한을 찾지 못했다고 적었다. 낮은 진동수일수록 오히려 더 많은 감쇠가 필요했다. 밀레니엄 브리지에는 점성 감쇠기 37개와 수직 모드용 질량 감쇠기가 들어갔고, 다리는 2002년 초에 다시 열렸다.

박자 없이도 문턱은 넘는다

같은 틀이 설명하는 것은 다리만이 아니다. 논문이 든 예는 귀 안쪽 달팽이관의 유모세포다. 아무 소리도 들어오지 않는데 세포가 스스로 소리를 내보내는 자발 이음향방사(spontaneous otoacoustic emission)이다. 논문은 경기 순환 모형도 같은 계열로 묶었다.

어느 쪽도 개체들이 박자를 맞춰서 진동하는 것이 아니다. 각 개체가 자기 상태를 유지하려는 작은 되먹임이 평균적으로 한쪽으로 치우쳐 있고, 그 치우침의 합이 계의 감쇠를 0 아래로 내리면 진동이 켜진다. 달팽이관이든 경기 순환이든 흔들리는 대상은 중요하지 않다. 개체 하나가 계에 돌려주는 되먹임의 평균이 0에서 벗어나 있으면 된다.

이 블로그의 박수 주기배가 편에서는 결합의 세기가 문턱을 넘어야 비로소 박자가 맞았다. 이 다리는 그 그림을 뒤집는다. 박자가 맞지 않아도 문턱은 넘는다.

집단이 한 박자로 움직이는 장면을 봤을 때 물어야 할 것은 "그래서 그런가"가 아니다. 무엇이 먼저 왔는지를 물어야 한다. 서로 무관한 개체들의 작은 편향은 상쇄되지 않는다.

더 읽기

Belykh, I. et al. "Emergence of the London Millennium Bridge instability without synchronisation". Nature Communications 12:7223 (2021) — https://doi.org/10.1038/s41467-021-27568-y
Fitzpatrick, T. & Ridsdill Smith, R. (Arup). "Stabilising the London Millennium Bridge". Ingenia (2001) — https://www.ingenia.org.uk/articles/stabilising-the-london-millennium-bridge/
형제 글 「박수 주기배가」 — https://horongs.com/rhythmic-applause-period-doubling/