수학·확률

징크스는 왜 생길까, 비둘기도 미신을 만든다

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시험 날마다 같은 펜만 고르는 사람이 있다. 행동과 상관없이 먹이를 받은 비둘기 8마리 중 6마리도 먹이 사이마다 같은 동작을 되풀이했다. 마침 하던 동작이 먹이와 겹쳐 굳었다는 설명이 붙었다. 좋은 일이 행동과 상관없이 왔는데도 마침 하던 동작이 굳는 이 일을 미신 행동(superstitious behavior)이라고 한다.

크림색 카드. 왼쪽 가운데보다 조금 위에 아주 굵은 검은 두 줄 제목 「징크스는 왜 생길까 / 비둘기도 미신을 만든다」가 있고 「미신」만 보라색이며, 그 아래 회색 부제는 「행동과 상관없이 먹이를 줘도 동작이 굳는다」다. 오른쪽 절반에는 옆에서 본 상자 하나가 가는 짙은 선으로 그려져 있다. 상자는 세로가 조금 더 길고 바닥선만 굵으며, 오른쪽 벽 가까이 아래쪽에 비어 있는 작은 네모 먹이 구멍이 있다. 상자 바닥 가운데에 검은 실루엣 비둘기 한 마리가 왼쪽을 보고 서 있다. 굵은 보라색 타원 곡선이 비둘기 둘레를 시계 반대 방향으로 4분의 3 바퀴 돌고, 뒤쪽 호는 몸에 가려 좌우로만 보이며, 화살촉은 비둘기 앞 왼쪽 아래에서 오른쪽을 가리킨다. 상자 위쪽 절반은 비어 있고, 숫자·이름표·다른 물건은 없다.

상자 안의 비둘기 한 마리가 먹이와 먹이 사이에 시계 반대 방향으로 두세 바퀴를 돈다. 다른 한 마리는 상자 위쪽 모서리 한 곳에 머리를 거듭 밀어 넣는다. 1948년 심리학자 스키너(B. F. Skinner)가 적어 둔 비둘기들이다. 먹이는 새가 무엇을 하든 상관없이, 시계가 정한 일정한 간격으로 나왔다. 먹이를 부르는 동작은 따로 없었는데, 새마다 되풀이하는 동작이 생겼다.

징크스는 왜 생길까?

비둘기 실험에서 나온 설명은 이렇다. 좋은 일이 행동과 상관없이 찾아와도, 마침 그때 하던 동작이 좋은 일과 겹치면 그 동작을 다시 하기 쉬워진다. 다시 하면 다음 좋은 일과 또 겹치기 쉬워서, 그 동작이 굳을 수 있다.

나쁜 일과 겹친 행동을 피하는 쪽, 곧 「무엇을 하면 진다」는 징크스는 이 실험들이 시험하지 않았고, 이 글도 되풀이하는 쪽만 다룬다. 되풀이하는 쪽에서도 이 설명이 닿는 범위는 좁다. 같은 실험을 초 단위로 다시 본 연구와 사람에게 같은 절차를 해 본 실험은, 이 설명만으로 오래가는 버릇을 다 풀지 못했다.

상자 속 비둘기 여덟 마리

스키너는 비둘기를 배불리 먹였을 때 몸무게의 75%까지 줄여, 늘 배고픈 상태로 두었다. 비둘기는 하루에 몇 분씩 실험 상자에 들어갔다. 상자에는 먹이통이 달려 있어서, 먹이를 줄 때마다 5초 동안 먹을 수 있게 열렸다. 먹이가 몇 초마다 나왔는지는 실험 설정을 적은 문단에 숫자로 나오지 않고, 스키너의 뒤쪽 논의에 따로 나온다.

결과는 여덟 마리 가운데 여섯 마리에게서 뚜렷했다. 관찰자 두 사람이 동작의 횟수를 똑같이 셀 수 있을 만큼, 새마다 정해진 동작이 생겼다. 나머지 두 마리는 동작이 뚜렷하지 않았다.

반시계로 도는 새와 모서리에 머리를 넣는 새 말고도, 한 마리는 보이지 않는 막대 밑에 머리를 넣고 들어 올리듯 머리를 거듭 쳐들었다. 두 마리는 머리를 앞으로 내밀어 오른쪽에서 왼쪽으로 홱 휘둘렀다가 조금 천천히 되돌아오는 진자 동작을 했다. 다른 한 마리는 바닥을 향해 쪼거나 쓸다가 마는 동작을 했는데, 부리가 바닥에 닿지는 않았다. 이 동작들은 비둘기가 상자에 익숙해지는 동안에는 눈에 띄지 않았다. 먹이가 주기적으로 나오기 시작한 뒤에야 나타났다.

좋은 일이 뒤따른 행동이 다시 나오기 쉬워지는 것을 강화(reinforcement)라고 한다. 스키너는 먹이와 상관없는 동작이 강화된 과정을 이렇게 설명했다. 먹이통이 나타날 때 새는 마침 어떤 동작을 하고 있고, 그래서 그 동작을 되풀이하기 쉬워진다. 다음 먹이까지의 간격이 동작이 사그라들 만큼 길지 않으면, 그 동작은 다음 먹이와 또 겹치기 쉽다. 그러면 동작은 더 강해지고, 그다음 먹이와 겹칠 가능성도 커진다. 겹치지 않는 때도 있지만, 합쳐 보면 동작은 꽤 강해진다는 것이다.

스키너는 이 실험이 「일종의 미신을 보여 준다고 할 만하다」고 썼다. 새는 자기 행동과 먹이 사이에 원인과 결과의 관계가 있는 것처럼 행동하지만, 실제로 그런 관계는 없다. 이런 행동을 미신 행동이라고 부른다.

스키너는 사람에게서도 비슷한 예를 많이 찾을 수 있다고 했다. 카드 게임에서 운을 바꾸려는 의식이 좋은 예이고, 공을 이미 굴려 보낸 뒤에도 공을 조종하듯 팔과 어깨를 비트는 볼링 선수도 그렇다. 그런 몸짓이 운이나 레인 중간의 공에 아무 영향을 주지 못하듯, 비둘기가 아무것도 하지 않았어도 먹이는 똑같이 자주 나왔을 것이라고 스키너는 덧붙였다. 더 정확히는, 다른 무엇을 했어도 마찬가지였을 것이다. 먹이를 부르는 동작이 따로 없는 상자에서는, 먹이가 올 때 마침 하던 동작이면 무엇이든 되풀이될 수 있다.

우연히 겹친 동작은 어떻게 굳을까

스키너가 적은 굳는 과정은 말로 되어 있지만, 규칙으로 옮겨 컴퓨터로 돌려 볼 수 있다. 이 글은 그 과정을 아래 규칙 2로 옮겼고, 쏠림을 되돌리는 방식(규칙 3)과 나머지는 따로 정했다. 규칙은 넷이다.

  1. 장난감 비둘기는 이름 없는 동작 8가지 가운데 하나를 1초마다 고르고, 처음에는 여덟 가지를 고를 확률이 같다.
  2. 먹이가 나온 그 초에 하던 동작 쪽으로 확률을 옮긴다. 나머지 동작들의 몫에서 20%씩을 떼어 그 동작에 얹는다.
  3. 1초마다 아주 조금씩 여덟 가지가 고른 상태로 되돌아가서, 6분쯤 지나면 한쪽으로 쏠린 정도가 반으로 준다.
  4. 먹이는 행동과 상관없이 일정한 간격으로 나오고, 먹이를 먹는 5초는 간격에서 뺐다.

한 판은 먹이 64번이고, 한 마리마다 20판을 쉬지 않고 이어서 돌렸다. 장난감 비둘기는 간격마다 1,000마리다. 「굳었다」를 가르는 수치 기준은 스키너의 글에 없어서, 이 글은 두 가지로 정했다. 정의 A는 마지막 판의 마지막 먹이 16번 가운데 12번 이상이 같은 동작과 겹친 경우다. 정의 B는 그 16번 사이의 시간 가운데 절반 이상을 한 동작에 쓴 경우다.

굳는 까닭은 규칙 2와 3이 주고받는 데 있다. 먹이와 겹친 동작은 조금 잦아지고, 잦아진 동작은 다음 먹이와 또 겹치기 쉽다. 다만 다른 동작이 겹치면 그만큼 다시 줄어서, 먹이 한 번이 쏠림을 평균으로 키우지는 않는다. 쏠림은 우연히 한 동작이 몇 번 몰려 겹칠 때 생긴다. 규칙 3은 그 쏠림을 먹이 사이마다 되돌리는데, 15초 간격이면 한 번에 3%쯤, 60초면 11%쯤이 풀린다. 많이 풀릴수록 몰려서 생긴 쏠림이 다음 겹침까지 남지 못한다.

그림 1의 입력 칸에서 먹이 간격을 1(5초)부터 4(60초)까지 바꿔 볼 수 있고, 처음 값은 2(15초)다. 먹이가 15초마다 오면, 장난감 1,000마리 가운데 정의 A로 37%, 정의 B로 65%가 굳었다. 오른쪽 판은 그 간격의 가운데 한 마리가 마지막 판에 시간을 어떻게 나눠 썼는지 보여 준다. 마리마다 가장 많이 한 동작에 쓴 시간 몫을 재어 1,000마리를 늘어놓으면, 그 한가운데쯤 오는 마리가 가운데 한 마리다. 15초의 그 마리는 동작 2에 시간의 57%를 썼다.

크림색 카드. 굵은 제목 「먹이 간격에 따라 굳은 비둘기」에서 「굳은」만 보라색이다. 그 아래 「먹이 간격」 옆에 5초·15초·30초·60초 알약 넷이 있고, 15초만 보라로 채워져 있으며 옆에 회색 「· 일정한 간격」이 붙어 있다. 왼쪽 판은 회색 알약 「굳은 비둘기 비율」과 「1,000마리 가운데」 아래 0·50·100% 눈금 위에, 위 가장자리만 보라 선인 옅은 보라 막대 둘이 서 있다. 정의 A는 37%, 정의 B는 65%이고, 막대마다 검은 수염이 붙어 있다. 막대 아래 이름표는 「정의 A / 겹침 12/16 이상」과 「정의 B / 시간 절반 이상」이고, 맨 아래 수염 기호 옆에 「100마리 묶음 10개 사이의 흩어짐」이 있다. 오른쪽 판은 회색 알약 「가운데 한 마리의 시간 나눔」과 회색 두 줄 「간격마다 다른 한 마리」·「1,000마리 중 가장 긴 막대가 중간인 마리(번호 70)」 아래, 같은 0~100% 눈금에 막대 여덟을 동작 2·1·3·4·6·7·8·5 순서로 늘어놓았다. 값은 57·33·2·2·2·1·1·1%이고, 첫 막대 57%만 보라, 나머지는 옅은 회색이다. 50% 높이에 검은 점선 「정의 B 문턱」이 지나고, 막대 아래에는 「동작 번호 · 시간을 많이 쓴 순」, 그 아래 칩 줄은 「이 마리」 뒤에 회색 「정의 A 아님」과 보라 테 「정의 B 굳음」이다. 카드 아래 회색 두 줄은 「장난감 비둘기 1,000마리 · 동작 8가지 · 마지막 판의 먹이 16번 사이」와 「비둘기를 잰 값이 아니다 — 설정에 따라 %는 크게 달라진다」다.
그림 1. 입력 칸의 값(1 = 5초, 2 = 15초, 3 = 30초, 4 = 60초)을 바꾸면, 장난감 비둘기 1,000마리 가운데 굳은 비율과 그 간격의 가운데 한 마리가 마지막 판에 시간을 나눠 쓴 모양이 함께 바뀐다. 처음 값은 2, 곧 15초다. 간격마다 따로 돌린 무리라, 오른쪽의 한 마리도 간격마다 다른 마리다.

이 그림은 장난감의 규칙으로 돌린 결과이지, 비둘기를 잰 값이 아니다. 동작 8가지와 「굳음」의 두 정의는 이 글이 정했고, 그림의 퍼센트도 이 설정에서 나온 예다. 확률을 옮기는 양과 고른 상태로 되돌아가는 빠르기를 바꿔 보면, 같은 15초에서도 굳은 비율이 0.3%에서 97%까지 움직였다. 그대로 남는 것은 간격에 따른 방향이다. 비둘기가 원래 하려 드는 쪼기 같은 먹이 행동은 이 장난감에 들어 있지 않다.

규칙 어디에도 「이 동작을 하면 먹이가 나온다」는 줄은 없다. 먹이는 어떤 동작을 하든 같은 시각에 나온다. 그래도 겹침이 다음 겹침을 부르면, 한 동작이 시간의 절반 넘게 자리를 차지할 수 있다.

했던 날만 세어도 될까

내 징크스나 행운 의식은 공책에서, 장난감 비둘기는 그림에서 세어 볼 수 있다. 공책 쪽이 먼저다. 그림에서는 먹이 간격에 따라 굳은 비율이 어떻게 되는지 본다.

  1. 내 징크스나 행운 의식 하나를 고르고, 그 행동을 한 날과 하지 않은 날을 두 줄로 나눠 적는다.
  2. 두 줄은 날 수가 다를 수 있으니, 줄마다 결과가 좋았던 날(징크스라면 나빴던 날)이 그 줄의 날 가운데 몇 분의 몇인지 센다. 두 줄의 몫이 서로 다른지 본다.
  3. 그림 쪽은 그림 1의 입력 칸 값을 1에서 4로 올리며 두 곳을 본다. 왼쪽 두 막대가 50% 눈금을, 오른쪽 한 마리의 가장 긴 막대가 「정의 B 문턱」 선을 넘는지다.

비둘기의 먹이처럼, 내 행동을 하지 않았어도 결과는 똑같이 왔을 수 있다. 했을 때만 세면 겹친 날만 보인다. 하지 않은 날도 세어야, 그 행동과 결과 사이에 관계가 있는지 보인다.

먹이 간격이 길수록 덜 굳는 장난감 비둘기

스키너 자신도 먹이 간격이 짧을수록 동작이 더 빨리, 더 뚜렷하게 굳으리라고 예상했다. 그 이유를 둘 들었다. 그 가운데 하나는 간격이 길수록 먹이 없이 지나가는 동작이 많아지고, 그렇게 쌓인 헛동작이 가끔 겹친 먹이의 효과를 지운다는 것이다. 그리고 「Fifteen sec. is a very effective interval」, 곧 이 굶김 수준에서는 15초가 매우 효과적인 간격이고 1분은 훨씬 덜하다고 썼다.

장난감 비둘기도 같은 방향을 보였다. 15초에서 37%·65%이던 굳은 비율이, 60초에서는 둘 다 4%였다. 간격을 5초에서 15초, 30초, 60초로 늘릴 때마다 굳은 비율이 줄었다.

이 퍼센트들은 이 설정에서 나온 예이지만, 방향은 설정을 바꿔도 남았다. 간격을 들쭉날쭉하게 바꾸거나, 굳음을 가르는 기준(16번 가운데 12번 같은 수)을 세 가지로 바꿔도 마찬가지였다. 확률을 옮기는 양과 되돌아가는 빠르기를 아홉 가지로 조합해도, 먹이 직전 3초 동안 한 동작들에 확률을 나눠 옮겨도 그랬다. 어느 경우에도 간격이 길어지면서 굳은 비율이 늘어난 적은 없었다. 동작 가짓수를 6·12·16가지로 바꿨을 때도 15초가 60초보다 잘 굳었다.

다른 조건으로도 두 번 돌려 보았다. 먹이와 겹쳐도 확률을 옮기지 않게, 곧 학습을 끄면 5·15·60초 어디서도 1,000마리 가운데 한 마리도 굳지 않았다. 다른 하나는 처음에 시도했다가 바꾼, 규칙과 값이 함께 다른 학습 방식이다. 먹이 없이 어떤 동작을 하면, 그 1초마다 그 동작이 먹이로 얻어 둔 몫을 조금씩 깎는다. 이 방식에서는 시험한 세 간격(5·15·60초) 모두 굳은 비율이 0.3% 이하였다. 행동과 상관없는 먹이라고 해서 언제나 동작이 굳는 것은 아니었다.

굳은 동작이 그 자리에 오래 머무는 것도 아니었다. 그림 2은 15초 간격의 가운데 한 마리, 곧 그림 1 처음 화면의 그 마리가 판마다 마지막 먹이 16번 사이의 시간을 어떻게 나눠 썼는지 보여 준다. 시간 절반 이상을 한 동작에 쓴 판은 20판 가운데 16판이었다. 그런데 가장 많이 한 동작은 판이 바뀌는 19번 가운데 11번 달라졌다. 판 15부터 19까지는 동작 3이 가장 많았고, 판 20에서는 동작 2가 57%를 차지했다.

크림색 카드. 굵은 두 줄 제목 「한 마리 비둘기가 판마다 / 가장 많이 한 동작」에서 둘째 줄만 보라색이다. 범례는 셋으로, 진한 보라는 「그 판에서 가장 많이 한 동작 — 시간 절반 이상(정의 B로 굳음)」, 옅은 보라는 같은 동작의 「절반 미만」, 회색 단계는 「나머지 동작 — 동작 1~8을 번호 순서로 아래부터 쌓았다」이다. 가로는 판 1~20, 세로는 0·50·100%이고, 판마다 100% 쌓은 막대가 하나씩 서 있다. 판마다 가장 많이 한 동작의 칸만 보라색인데, 20판 가운데 16판은 진한 보라이고 판 1·5·12·13 넷은 옅은 보라다. 50% 높이에 검은 점선 「정의 B 문턱」이 지나고, 막대 위에는 판마다 가장 많이 한 동작 번호가 6·6·7·1·2·7·3·3·5·5·5·7·4·7·3·3·3·3·3·2 순서로 적혀 있다. 막대 아래 두 줄은 「이 마리: 절반을 넘은 판 16/20 · 정의 A로 굳은 판 5/20」과 「판이 넘어갈 때 가장 많이 한 동작이 바뀐 횟수 11/19」다. 그 아래 흰 테 칩 「75.8% 판 사이 바뀐 비율」과 회색 칩 「87.5% 동작을 아무렇게나 고를 때」가 나란히 있고, 칩 아래 회색 두 줄은 이 값이 장난감 1,000마리 전체에서 판의 마지막 먹이 16번 사이 시간을 기준으로, 위 막대와 같은 방식으로 센 바뀐 비율이라고 적는다. 카드 아래 회색 글은 「장난감 비둘기 #70 · 일정한 간격 15초 · 판마다 마지막 먹이 16번 사이의 시간만 보여 준다 — 한 마리의 예일 뿐이다」다.
그림 2. 앞의 먹이 간격 그림 처음 화면과 같은 마리(장난감 비둘기 #70, 일정한 간격 15초)의 판 1~20. 보라색은 정의 B 쪽, 곧 그 판에서 시간을 가장 많이 쓴 동작이다. 정의 A로 굳은 판은 20판 가운데 5판이다. 아래 두 칩은 1,000마리 전체의 바뀐 비율과, 판마다 동작을 아무렇게나 골랐을 때의 비율이다.

1,000마리 전체로 세면, 가장 많이 한 동작은 이 한 마리보다 더 자주 바뀌었다. 판마다 가장 많이 한 동작을 여덟 가운데 아무렇게나 고른다면, 다음 판에 다른 동작이 나올 몫은 여덟에 일곱, 곧 87.5%다. 1,000마리에서 실제로 바뀐 비율은 75.8%였다. 같은 동작이 다음 판에도 이어진 비율로 보면 24.2%로, 아무렇게나 고를 때의 12.5%보다 두 배쯤이다. 판을 거듭한다고 굳은 비율이 늘지도 않았다. 15초에서 정의 A로 굳은 비율은 첫 판에서 이미 37%였고, 스무 번째 판까지 크게 늘거나 줄지 않았다.

장난감에서 끝까지 남은 것은 방향이다. 겹친 동작 쪽으로 확률을 옮기고 그 쏠림을 하던 동작과 상관없이 시간에 따라서만 조금씩 되돌리는 학습자에서는, 먹이가 잦을수록 동작이 잘 굳었다. 처음에 시도했다가 바꾼 방식은 규칙과 값이 함께 달라서, 시험한 세 간격에서 거의 굳지 않았다. 다른 학습자도 이 방향을 따르는지는 이 셈으로 알 수 없다.

초 단위로 다시 본 1971년의 비둘기

1971년의 한 실험에서는 처음부터 끝까지 같은 관찰자 한 사람이 비둘기의 동작을 초 단위로 적었다. 스태던(J. E. R. Staddon)과 심멀랙(Virginia L. Simmelhag)은 비둘기 4마리에게 행동과 상관없이 먹이를 주었다. 먹이는 12초마다, 또는 평균 8초마다 들쭉날쭉하게 나왔다. 동작은 16가지로 나눠 기록했다.

행동은 두 갈래로 나뉘었다. 먹이를 먹은 직후에는 새마다 제각각인 여러 동작이 나왔다. 먹이가 올 무렵부터 먹이가 나올 때까지는 한 동작이 이어졌는데, 그 동작은 한 마리의 한 조건을 빼면 모두 먹이통이 있는 벽 쪽을 쪼는 것이었다.

네 마리 가운데 세 마리는 처음 몇 판 동안 「먹이통에 머리 넣기」를 다른 어떤 동작보다 자주, 오래 했다. 먹이와 가장 자주 겹친 동작도 그것이었다. 그런데 나중 판에서 그 동작은 갑자기 사라지고 쪼기로 바뀌었다. 스키너의 설명대로라면 더 굳었어야 할 동작이, 실제로는 사라졌다.

저자들은 한두 번의 겹침으로 생기는 짧은 효과라면, 우연한 겹침으로 설명될 수도 있다고 했다. 다만 오래가는 효과의 설명으로는 덜 설득력 있다고 봤다. 그리고 우연히 겹친 강화라는 생각은 「not a tenable one」, 곧 버틸 수 없는 생각이라고 썼다. 관찰을 뒤집은 것은 아니다. 저자들은 이 절차가 두 종류의 행동을 낳는다는 것을 확인했고, 그 행동에 대한 스키너의 해석을 고쳐야 한다고 봤다.

다른 실험실에서 팀버레이크(William Timberlake)와 루커스(Gary A. Lucas)가 1985년에 보고한 비둘기들은 대개 쪼지 않았다. 대신 먹이통 벽 쪽으로 다가가고, 옆걸음을 치고, 목을 내밀어 흔들고, 고개를 까딱였다. 쪼기는 특정 품종의 새나 오래 훈련한 새에게서 나오기도 했다. 저자들은 이런 행동이 일관되게 나타났다는 점이 우연히 겹친 강화라는 설명에 반한다고 봤다(논문 초록 기준).

비둘기에게 오래 남은 것은 먹이를 기다리며 먹이 쪽으로 하는 동작이었다. 처음 먹이와 가장 많이 겹친 동작은 버티지 못했다. 우연한 겹침으로 설명할 수 있는 것은, 짧게 나타났다 사라지는 동작 쪽으로 좁혀진다.

사람의 징크스도 이렇게 생길까

이긴 날 신은 양말을 다음 경기에도 신고, 경기 전 몸풀기 순서를 바꾸지 않는 버릇은 어떨까. 오노(Koichi Ono)는 1987년, 비둘기 상자와 같은 절차를 대학생 20명에게 해 보았다. 그는 행동과 상관없이 일정하거나 들쭉날쭉한 30초·60초 간격으로 점수 하나씩을 주었다. 방에는 큰 레버 세 개가 있었지만, 학생들에게 무엇을 하라고 하지는 않았다.

끈질긴 미신 행동이 생긴 사람은 20명 가운데 3명이었다. 한 명은 레버를 짧게 몇 번 당긴 뒤 길게 당기기를 되풀이했고, 다른 한 명은 실험 부스 안의 여러 물건을 만졌다. 대부분은 일관된 미신 행동을 보이지 않았다(논문 초록 기준). 다만 오노의 간격은 30초와 60초로, 스키너가 매우 효과적이라고 한 15초보다 길었다. 그래서 사람과 비둘기의 차이인지 간격의 차이인지는 이 결과만으로 가릴 수 없다.

다미슈(Lysann Damisch)와 동료들은 2010년, 행운을 떠올리게 하는 말이나 동작, 행운의 부적이 성적을 올린다고 보고했다. 골프 퍼팅·손재주·기억·낱말 퍼즐 과제에서였다. 골프 실험에서는 공을 건네며 지금까지 운이 좋았던 공이라고 말해 주었다(재현 논문의 요약).

캘린재거먼(Robert J. Calin-Jageman)과 콜드웰(Tracy L. Caldwell)은 2014년, 이 골프 실험을 두 번 다시 했다. 어떻게 재고 무엇을 견줄지는 데이터를 모으기 전에 정해 공개해 두었다. 10번 퍼팅에서 넣은 공은 첫 실험에서 행운이라는 말 대신 평범한 안내를 듣고 공을 받은 58명이 평균 4.62개, 행운의 공을 받은 66명이 4.73개였다. 둘째 실험에서는 평범한 안내를 들은 54명이 4.02개, 행운의 공 57명이 4.12개였다.

두 실험 모두 평균 차이는 0.1개 안팎이었다. 사람마다 넣은 공 수가 흩어진 폭에 견주면, 두 실험을 합친 차이는 0.05로 거의 0이다. 저자들이 셈한 그럴듯한 범위도 −0.21에서 0.30 사이로, 행운의 공이 오히려 조금 불리한 쪽까지 걸쳐 있었다. 원 연구의 다른 실험 하나를 두 번 다시 한 디크호이저(Oliver Dickhäuser)와 동료들(2020)도 통계적으로 뚜렷한 효과를 찾지 못했다. 캘린재거먼과 콜드웰은 효과가 없다고 못 박지는 않았다. 효과가 안 나온 까닭이 아직 모르는 조건 때문인지, 더 엄격한 설계 때문인지, 둘 다인지는 더 연구해야 가릴 수 있다고 적었다.

사람에게서는 15초보다 긴 간격에서 대부분 미신 행동이 생기지 않았고, 행운의 공 효과도 다시 해 본 실험에서 나오지 않았다. 사람의 징크스와 행운 의식이 비둘기 상자에서처럼 생긴다는 것은 아직 가설이다. 먹이가 잦을수록 잘 굳는다는 방향이 설정을 바꿔도 남은 곳은, 스키너가 적은 굳는 과정에 이 글이 정한 되돌림을 붙인 장난감이다. 이 장난감처럼 쏠림을 시간에 따라서만 되돌리는 학습자라면, 행동과 상관없이 오는 먹이라도 자주 올수록 마침 하던 동작이 굳기 쉽다.

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