수학·확률

일기예보 틀리는 이유, 작은 차이가 두 배씩 자란다

읽는 데 13분

날씨 앱의 주간 예보는 며칠 사이에 뒤쪽 칸의 「맑음」이 「비」로 바뀌어 있기도 하다. 지금 날씨는 끝자리까지 잴 수 없고, 그렇게 생긴 아주 작은 차이는 두 배, 또 두 배로 자란다. 그래서 큰 날씨 지도로 견주면 사흘 뒤 예보는 실제와 거의 닮았지만, 날이 갈수록 더 빠르게 어긋난다. 이렇게 처음의 작은 차이가 자라 앞날을 크게 바꾸는 일을 흔히 나비효과(butterfly effect)라고 부른다.

주간 예보의 일곱 칸 가운데 앞 세 칸은 해 하나로 또렷하고, 넷째 칸부터 날씨 그림이 둘·셋으로 갈라지며 흐려지는 그림이다. 크림색 카드 왼쪽 위에 아주 굵은 두 줄 제목 「일기예보 틀리는 이유, / 작은 차이가 두 배씩 자란다」가 있고 「두 배씩」만 파란색이다. 그 아래 회색 부제는 「지금 날씨의 끝자리를 못 재는 틈이 며칠 뒤 예보를 흔든다」다. 카드 아래쪽에는 둥근 모서리 칸 일곱 개가 가로 한 줄로 놓이고, 칸 위에 요일 글자 「월 화 수 목 금 토 일」이 있다. 월·화·수 칸에는 짙은 잉크색 해가 하나씩 가운데에 또렷하다. 목요일 칸만 테두리가 파란색이고 바탕이 옅은 파란색이며, 파란 해에 구름 하나가 반쯤 겹쳐 있다. 금요일 칸에는 회색 해와 구름이 떨어져 놓이고, 토·일 칸에는 더 옅은 해·구름·빗줄기가 흩어져 있다. 숫자·축·화살표는 없다.

월요일에 날씨 앱에서 본 토요일은 「맑음」이었는데, 목요일에 다시 열어 보니 같은 칸이 「비」로 바뀌어 있다. 사흘 사이에 예보가 뒤집힌 것이다. 일기예보는 왜 일주일 뒤는 잘 안 맞을까?

지금 날씨는 끝자리까지 잴 수 없다. 날씨를 재는 관측은 어디서나 조금씩 모자라고 조금씩 틀려서, 예보 계산에 넣는 처음 값에는 늘 작은 차이가 섞인다. 그렇게 생긴 작은 차이는 두 배, 또 두 배로 자란다. 같은 계산을 아무리 잘해도, 처음 값이 조금 다르면 며칠 뒤의 답이 달라진다. 처음에는 보이지도 않던 차이가 그사이 비와 맑음을 가를 만큼 커진다.

그래서 큰 날씨 지도로 견주면 사흘 뒤 예보는 실제와 거의 닮았지만, 하루에 어긋나는 폭은 날마다 커진다. 예보 기관이 매기는 점수로는 일주일 무렵에 기준선 아래로 내려간다. 끝자리를 한 자리 더 잘 재도, 예보가 버티는 날은 생각만큼 늘지 않는다. 같은 계산을 두 번 돌려도, 처음 값을 몇째 자리에서 반올림했느냐에 따라 두 계산이 갈라지는 때가 달라진다.

같은 식을 두 번 돌리면

미국 기상학자 에드워드 로렌즈(Edward N. Lorenz)가 뒤에 회고한 일화가 있다. 1960년 무렵 로렌즈는 12가지 값으로 날씨를 흉내 낸 컴퓨터 모형을 돌리고 있었다. 컴퓨터는 처음 날씨를 나타내는 숫자 12개를 받아 6시간씩 날씨를 앞으로 계산했다.

모형 속 하루가 지날 때마다 12개 값을 찍어 냈다. 계산은 소수 여섯째 자리쯤(「about six decimal places」)까지 했다. 다만 12개를 한 줄에 넣으려고, 인쇄는 셋째 자리(「three places」)에서 반올림하게 해 두었다.

어느 날 로렌즈는 앞서 얻은 풀이, 곧 계산 결과 한 벌을 더 자세히 보고 싶었다. 그래서 인쇄된 한 줄의 숫자 12개를 다시 쳐 넣고 계산을 이어 돌렸다. 커피를 마시고 한 시간쯤 뒤에 돌아와 보니, 그사이 모형 속 두 달 치를 계산한 새 풀이가 원래 풀이와 맞지 않았다. 쳐 넣은 숫자는 원래 숫자가 아니라 반올림한 근삿값이었다. 로렌즈는 두 풀이가 어떻게 갈라졌는지를 이렇게 적었다.

I found that at first the solutions were the same, and then they would differ by one unit in the last decimal place, and then the differences would become larger and larger, doubling in magnitude in about four simulated days, until, after sixty days, the solutions were unrecognizably different.

(처음에는 두 풀이가 같았고, 그다음엔 마지막 자리에서 한 단위씩 달라지더니, 차이가 점점 커져 모형 속 날짜로 약 나흘마다 두 배가 되었고, 60일 뒤에는 두 풀이를 알아볼 수 없을 만큼 달라졌다.)

Edward N. Lorenz, 「A Scientist by Choice」, 교토상 기념강연(MIT 목록 1991)

여기서 나흘은 모형 속 날짜이고, 로렌즈도 「about」(약)을 붙였다. 회고의 숫자대로 셈하면 60일에는 나흘이 15번 들어가니, 차이가 2를 15번 곱한 32768배로 자란 셈이다. 실제 대기에서 차이가 두 배가 되는 시간은 뒤에서 따로 본다.

같은 일을 이 글에서 다시 해 보는데, 12변수 모형 대신 로렌즈가 1963년 논문에 쓴 3변수 식을 쓴다.

식이 한참 돌아 자리 잡은 상태 하나에서 출발한다. 한쪽은 그대로 계산하고, 다른 쪽은 세 값을 소수 몇째 자리까지만 남겨 반올림한 뒤 다시 출발시킨다.

예를 들어 0.506127이 0.506이 되는 식이다. 이 자릿수는 APS News 해설이 든 예시이고, 로렌즈의 회고에는 반올림된 숫자가 적혀 있지 않다. 그림의 x는 이 식에서 공기가 위아래로 도는 세기를 나타내는 값이고, 이 식의 시간은 τ로 적는다.

두 계산은 같은 식을 같은 계산 방법, 같은 시간 간격으로 푼다. 반올림하지 않고 두 번 돌리면 끝까지 차이가 0이었으니, 계산 방법이 결과를 흔들지는 않는다. 다른 것은 버린 끝자리뿐이다. 그림 1에서는 반올림해 남길 자리를 소수 둘째 자리부터 여섯째 자리까지 직접 골라 볼 수 있다.

크림색 카드. 왼쪽 위 굵은 두 줄 제목은 「반올림해 남긴 자리가 적을수록 / 두 계산이 일찍 갈라진다」이고 「일찍 갈라진다」만 파란색이다. 그 아래 범례는 회색 선 「반올림 안 한 계산」, 파란 선 「반올림해 다시 출발한 계산」, 파란 점 「갈라진 때」다. 가로축은 「모형 속 시간 τ — 날짜 아님」으로 0부터 20 남짓까지, 세로축은 「x — 식 속 공기가 위아래로 도는 세기」로 −15부터 15까지 눈금이 있다. 회색 선은 τ 0부터 위아래로 오르내리고, 파란 선은 τ 5 조금 앞에서 회색 선 위에 겹친 채 나타나 한동안 함께 가다가 τ 10 무렵부터 눈에 띄게 다른 봉우리를 그린다. τ 7 무렵 파란 선 위에 점 하나와 세로 점선이 있고, 이 점에서는 두 선이 아직 거의 포개져 있다. 그림 아래 칩은 「소수 3자리로 반올림 · 갈라진 때 τ ≈ 7.01」과 「점이 찍힐 때 두 선은 아직 거의 포개져 있다」다. 맨 아래 회색 글씨는 이 글의 계산이고 일화의 12변수 모형이 아닌 3변수 식이며, 점은 세 값의 차이로 잰 두 계산 사이 거리가 처음 1을 넘은 때라고 밝힌다. 움직이는 판에서는 「반올림해 남길 소수 자리」를 2부터 6까지 고를 수 있고, 이 그림은 3자리 판이다.
그림 1. 두 계산은 같은 출발 상태에서, 한쪽만 반올림해 τ 0에 함께 출발했다. 파란 선은 두 계산의 x 차이가 0.05를 넘은 때부터 그렸고, 그 전에는 회색 선과 같다.

기본값인 소수 셋째 자리로 반올림한 계산도 τ 0에서 회색 선과 함께 출발한다. 처음에는 차이가 너무 작아 두 선이 하나로 보이고, 파란 선은 중간부터 회색 선 위에 겹친 채 나타난다. 점이 찍힌 「갈라진 때」는 세 값의 차이로 잰 두 계산 사이 거리가 처음 1을 넘은 때다. 이때도 두 선은 아직 거의 포개져 보이고, 눈에 띄게 벌어지는 것은 그 조금 뒤다. 남길 자리를 줄이면 점이 앞으로 당겨지고, 늘리면 뒤로 밀린다. 버린 끝자리가 얼마 뒤 두 계산을 전혀 다른 값으로 갈라놓는다.

두 배씩 자라는 차이의 셈

그림에서 본 차이는 한 번에 크게 뛰지 않는다. 차이가 작을 때는 일정한 시간이 지날 때마다 두 배가 되는 꼴로 자란다. 차이가 두 배가 되는 데 걸리는 이 시간을 두 배 시간이라고 부른다. 로렌즈가 본 「약 나흘마다 두 배」도 이런 꼴이다. 이 글의 3변수 식에서 두 배 시간은 출발 상태 10개의 평균으로 약 0.76τ다.

두 배가 한 번 되면 차이는 2배, 두 번이면 4배가 된다. n번 두 배가 되면 처음 차이에 2를 n번 곱한 만큼 커진다. 한 번 두 배가 될 때마다 늘어나는 양도 두 배가 되니, 차이는 처음엔 느리게, 나중엔 가파르게 커진다. 처음 차이를 d₀, n번 두 배가 된 뒤의 차이를 dₙ이라 하면 식 1과 같다.

(1) $$ d_n = d_0 \times 2^{n} $$

앞의 예시를 넣어 셈해 본다. 0.506127과 0.506의 차는 0.000127이다. 이 차이가 1을 넘으려면 두 배가 12.94번 되어야 하니, 13번째에 1을 넘는다. 10을 넘으려면 16.26번, 곧 17번째다. 1에서 10까지 가는 데는 두 배 세 번 남짓(3.32번)밖에 들지 않는다.

1을 넘기까지 두 배가 13번 필요한데, 10번을 지나도 차이는 0.13 남짓이다. 그래서 차이가 눈에 보일 만큼 커졌을 때는 이미 갈라지기 직전이다. 시간의 대부분은 보이지 않을 만큼 작은 차이가 자라는 데 쓰인다. 앞 그림에서 점이 찍힌 뒤에야 두 선이 벌어지던 것도 같은 이야기다.

끝자리를 하나 더 재면 처음 차이는 10분의 1로 준다. 2를 세 번 곱하면 8, 네 번 곱하면 16이니, 10이 되려면 세 번 남짓, 더 정확히는 3.32번 곱해야 한다. 그러니 끝자리 하나는 두 배 세 번 남짓의 시간과 같다. 이 글의 식에서는 두 배 시간에 3.32를 곱한 약 2.5τ가 그 몫이다. 자리 셋을 더 재 처음 차이를 1000분의 1로 줄여도, 2를 열 번 곱하면 1024이니 두 배 열 번이 채 안 되는 시간만 번다.

실제로 재 보았다. 소수 여섯째 자리부터 둘째 자리까지 반올림할 자리를 하나씩 줄이며, 자리마다 서로 다른 출발 상태 400개에서 두 계산이 갈라지는 때를 쟀다. 자리 하나를 줄일 때마다 갈라지는 때는 평균 약 2.6τ씩 당겨졌다.

자리 하나를 덜 재면 처음 차이가 10배 커지니, 두 배 세 번 남짓만큼 일찍 갈라진 셈이다. 이웃한 자리끼리 잰 네 칸의 당겨진 폭은 2.4τ에서 2.8τ 사이였다. 여섯째 자리에서 둘째 자리까지, 자리 하나가 거의 같은 몫을 했다. 그림으로도 직접 따라가 볼 수 있다.

  1. 그림 1에서 반올림할 자리를 6부터 2까지 하나씩 줄이며, 칩에 뜨는 「갈라진 때」 숫자를 적는다.
  2. 이웃한 두 숫자의 차를 구해 적는다.
  3. 계산기에 0.000127을 넣고 ×2를 되풀이해, 몇 번째에 1을 넘는지 센다.

그림의 출발 상태는 미리 정한 규칙으로 골라 둔 한 판으로, 다섯 자리의 갈라진 때가 함께 400판 평균에 가장 가까운 것이다. 그래서 2단계에서 적는 차는 한 판의 값이고, 앞의 2.6τ는 400판의 평균이다. 이 3변수 식에서 끝자리를 하나 더 재는 일은 버티는 시간을 곱절로 늘리지 못하고, 두 배 세 번 남짓의 몫을 한 번 더 얹을 뿐이다. 처음 차이는 곱셈으로 줄여도, 버티는 시간은 덧셈으로만 는다.

날짜별로 매긴 일기예보 점수

유럽 중기예보센터(ECMWF)는 컴퓨터로 날씨 예보를 계산해 내는 유럽의 기관이다. 2025년 9월 보고서에서는 2024년 8월부터 2025년 7월까지 1년 치 자기 예보를 채점했다. 점수는 북반구 열대 바깥(중·고위도) 하늘 높은 곳의 기압 지도를 두고 잰다. 높이로는 약 5.5 km다. 예보 지도와 실제 지도에서 평년과 다른 모양이 얼마나 닮았는지를 100을 만점으로 나타낸 값이다. 맞힐 확률이 아니고, 우리 동네에 비가 왔는지를 맞힌 비율도 아니다.

한 번 돌린 예보의 점수는 3일 뒤 98.7, 5일 뒤 93.4, 7일 뒤 81.2, 10일 뒤 53.5다. 떨어지는 폭은 날이 갈수록 커진다. 1일에서 2일로 갈 때 0.3 떨어지던 점수가 3일에서 4일로는 1.9, 6일에서 7일로는 7.0, 9일에서 10일로는 9.9 떨어진다. ECMWF는 이 점수가 80까지 떨어지는 날을 대표 기준으로 삼는데, 한 번 돌린 예보는 7.15일에 80 아래로 내려간다. 날씨 예보가 쓸 만한지 가를 때 흔히 쓰는 기준선인 60 아래로는 9.33일에 내려간다. 이 글에서 「일주일 무렵」이라 한 것이 이 80 선 아래로 내려가는 때다(그림 2).

크림색 카드. 왼쪽 위 굵은 두 줄 제목은 「예보한 날이 멀수록 실제 지도와 덜 닮고, / 떨어지는 폭도 커진다」다. 범례는 회색 「한 번 돌린 예보」와 파란색 「여러 번 돌린 예보의 평균」이다. 가로에 「며칠 뒤를 예보했나」 3일·5일·7일·10일이 날짜순으로 놓이고, 날마다 막대가 둘이다. 회색 막대는 98.7·93.4·81.2·53.5, 파란 막대는 98.8·94.6·86.0·67.0이고, 숫자가 막대 위에 있다. 세로축은 「예보 지도와 실제 지도가 닮은 정도(0~100) — 맞힐 확률이 아니다」로 0부터 100까지다. 가로 점선 둘은 「80 · ECMWF가 기준으로 삼는 선」과 「60 · 흔히 쓰는 또 하나의 기준선」이다. 카드 아래 회색 글씨는 「유럽 중기예보센터(ECMWF) 보고서 그림 20 · 북반구 열대 바깥 · 하늘 높은 곳의 넓은 기압 지도 · 2024년 8월~2025년 7월 · 맞힐 확률이 아니라 닮은 정도」다.
그림 2. 값은 ECMWF 보고서(TM 931) 그림 20에서 읽어 이 글이 다시 그렸다. 파란 막대 「여러 번 돌린 예보의 평균」은 아래 「한 번 대신 여러 번 돌리기」에서 다시 본다.

실제 대기에서 차이가 두 배가 되는 시간은 하나로 정해져 있지 않다. 로렌즈 자신과 여러 연구가 내놓은 값을 모으면 아래와 같다. 잰 대상도 모형 속 날씨, 실제 예보, 큰 폭풍으로 제각각이다.

때 무엇을 쟀나 두 배 시간 근거 성격
1957 당시 관측소 밀도에서의 작은 오차(Thompson) 약 2일 로렌즈 강연 원고 속 요약
1960년 무렵 로렌즈의 12변수 모형, 반올림 재실행 약 4일(모형 속 날짜) 로렌즈 회고(1991)
1965 수백 변수 모형(Mintz) 약 5일 로렌즈 강연 원고 속 요약
1969 수천 변수 모형(Smagorinsky) 약 3일 로렌즈 강연 원고 속 요약
1972 관측망이 잡는 큰 구조의 작은 오차 약 3일 로렌즈 발표문
1972 구름 위치 같은 작은 구조의 작은 오차 몇 시간 이하 로렌즈 발표문
1982 ECMWF 실제 예보 100일 치 2.5일 로렌즈 논문(예비 추정)
1996~2001 ECMWF 북반구 예보 1.14~1.81일 Simmons·Hollingsworth 보고서 표 1(40값)
2008 큰 폭풍의 위치·구조 이틀 또는 조금 덜 로렌즈 강연

시대와 모형, 재는 규모가 다 달라서 「며칠마다 두 배」 하나로 묶을 수 없다. 1972년의 두 줄처럼 같은 발표 안에서도, 큰 구조는 며칠이고 작은 구조는 몇 시간 이하로 갈린다. 로렌즈는 1965년 Mintz의 실험부터 모형 실험이 내놓은 이 값이 계속 줄어 왔다고 적었다. 그 까닭은 아직 논란거리(「controversial」)라고 했다. 다만 자기 생각(「my own opinion」)으로는 모형이 지도를 점점 잘게 나눠 계산하게 된 데서 왔다고 보았다.

예보가 며칠 앞까지 닿을 수 있는지는 Zhang 외 연구진(2019)이 컴퓨터 모형 실험으로 추정했다. 지금 중위도 날씨의 쓸 만한 예보 기간은 열흘 안팎(「around 10 days」)이다. 처음 오차를 지금의 10분의 1로 줄이면, 이 기간을 최대 닷새(「up to 5 days」)까지 더 늘릴 수 있다. 본질적인 한계는 약 2주(「about 2 weeks」)로 보았다. 저자들은 이 결론을 「suggest」(시사한다)와 「may」(일 수 있다)로 적었다. 모형이 더 작은 움직임까지 잡아내면 차이가 더 빨리 자랄 수 있어, 이 추정이 「may be on the optimistic side」, 곧 낙관 쪽일 수 있다고도 덧붙였다.

앞 절의 「자리 하나에 거의 같은 몫」은 3변수 식에서 잰 성질이다. 실제 대기처럼 크기가 다른 움직임이 여럿 겹친 흐름을 두고, 로렌즈는 1969년 논문에서 가설 하나를 내놓고 간단한 모형으로 따져 보았다. 처음에 조금 다른 두 상태도 정해진 시간 안에는 아무렇게나 고른 두 상태만큼 달라진다는 것이다. 처음 오차를 줄여도 그 시간 너머까지 내다볼 수는 없다는 가설이다. 그렇다면 실제로 버는 시간은 두 배 세 번 남짓보다 적을 수 있다. 로렌즈의 가설도 Zhang 외의 실험도, 처음 값을 더 잘 재서 늘릴 수 있는 날에는 끝이 있다는 쪽을 가리킨다.

한 번 대신 여러 번 돌리기

처음 값을 끝자리까지 알 수 없으니, 예보 기관은 예보를 한 번만 돌리지 않는다. 처음 값을 조금씩 달리 넣은 예보를 여러 개 함께 돌려, 결과가 얼마나 흩어지는지까지 본다. 이것을 앙상블 예보라고 하고, 기상청은 「앙상블예측」이라는 이름을 쓴다. ECMWF는 예보 51개를 만든다. 하나는 처음 값을 흔들지 않은 예보이고, 나머지 50개는 처음 값과 모형을 함께 조금씩 흔든 것이다. 기상청도 같은 모형을 처음 값을 달리해 여러 번 돌리거나, 다른 모형을 한 세트로 묶어 돌린다고 설명한다.

이 글에서도 같은 3변수 식으로 작게 해 본다. 출발 상태 하나에 세 값마다 0.001 정도의 무작위 차이를 준 50개를 만들고, 흔들지 않은 계산 하나와 함께 돌렸다. 실제 예보와 달리 처음 값만 흔들었다.

크림색 카드. 왼쪽 위 굵은 두 줄 제목은 「처음 값을 조금씩 달리한 50개는 / 한동안 함께 가다가 둘로 갈라진다」다. 범례는 회색 굵은 선 「흔들지 않은 계산」, 옅은 파란 띠 「50개가 퍼진 범위」, 파란 가는 선 「그 가운데 8개」다. 그 아래 칩은 「흔들지 않은 계산과 같은 쪽: 50·46·24·29 / 50」이고, 회색 글씨로 「같은 쪽 = x가 흔들지 않은 계산처럼 0보다 큰 쪽, 또는 그처럼 0보다 작은 쪽에 있는 개수」라고 풀어 두었다. 가로축은 「모형 속 시간 τ — 날짜 아님」으로 0부터 20까지, 세로축은 「x — 식 속 공기가 위아래로 도는 세기」로 −15부터 15까지이고, x가 0인 자리에 옅은 가로선이 있다. 처음에는 회색 선 하나만 보이다가, τ 7.5 무렵부터 파란 선들과 띠가 회색 선 둘레에서 위아래로 벌어지고, τ 10 뒤에는 띠가 위아래를 거의 다 덮는다. τ 6·8·10·12에 세로 점선이 있고, 점선 위에 50·46·24·29가 적혀 있다. 카드 아래 회색 글씨는 「3변수 식 장난감 · 처음 값만 흔들었다(실제 예보는 모형도 흔든다) · 실제 예보 확률 아님 · 시간 τ는 날짜가 아니다 · 띠는 대략의 범위(점 사이를 이어 그림)」다.
그림 3. 이 글의 계산. 출발 상태는 위 반올림 그림과 다르다. 띠는 50개 x의 가장 작은 값부터 가장 큰 값까지다.

그림 3에서 처음에는 50개가 흔들지 않은 계산과 함께 한 줄로 몰려 있다. 같은 쪽인지는 x가 0보다 큰지 작은지로 갈랐다. 50개 가운데 흔들지 않은 계산과 같은 쪽에 있는 것은 τ 6에 50개였다가, τ 8에 46개, τ 10에 24개, τ 12에 29개가 된다. 처음에는 50개가 한 답을 내다가, 나중에는 둘로 갈라져 어느 쪽일지 반반이 된다.

처음 값의 아주 작은 차이가 자라 결과를 크게 바꾸는 이 모습을 흔히 나비효과라고 부른다. 이 이름은 로렌즈가 1972년에 한 발표의 제목에서 나왔다. 정작 로렌즈는 그 발표에서 제목의 물음에 답하지 않았다.

실제 예보에서는 여러 번 돌린 예보의 평균이 한 번 돌린 예보보다 점수가 높았다. 같은 보고서에서 10일 뒤 67.0이었고, 한 번 돌린 예보(53.5)보다 13.5 남짓 높았다. 80 아래로는 8.01일에 내려가, 한 번 돌린 예보보다 0.86일 늦었다. 로렌즈도 강연 원고에서 여러 예보를 세어 쓰는 법을 적었다. 예보가 백 개쯤으로 넉넉하면, 그 가운데 보스턴에 비가 오는 예보만 세어도 「acceptable probability forecast」, 곧 쓸 만한 확률 예보가 나올 수 있다는 것이다. 한 번 돌린 예보가 한 답만 말한다면, 여러 번 돌린 예보는 그 답이 언제부터 흔들리는지를 함께 말해 준다.

주간 예보 칸을 앞에서부터 읽기

주간 예보를 왼쪽 칸부터 하나씩 읽어 가면, 칸마다 기대할 수 있는 것이 다르다. 앞쪽 사흘은 큰 날씨 지도로 견줄 때 실제와 거의 닮는 구간으로, 3일 뒤 점수가 98.7이었다. 뒤 칸으로 갈수록 점수가 하루에 깎이는 폭이 커진다. 3일에서 4일로는 1.9였던 폭이, 일주일을 넘긴 칸에서는 하루 8.6에서 9.9에 이른다. 그래도 여러 번 돌린 예보의 평균은 10일 뒤에도 67.0으로, 흔히 쓰는 기준선 60 위에 있었다. 뒤쪽 칸에도 큰 지도의 흐름은 아직 어느 정도 담겨 있다.

월요일에 본 토요일 칸은 닷새 앞을 내다본 계산이고, 목요일에 본 토요일 칸은 이틀 앞을 내다본 계산이다. 월요일 계산 속 작은 차이에는 토요일까지 두 배씩 자랄 시간이 사흘 더 있었다. 뒤쪽 칸의 날씨 그림이 바뀌는 것은, 두 배씩 자란 차이가 그 무렵의 날씨를 좌우하기 때문이다. 예보 기관이 처음 값을 조금씩 달리한 예보를 여러 번 돌려 흩어짐을 보는 것도 이 차이 때문이다. 앞쪽 칸은 한 번 돌린 계산이 큰 지도에서 실제와 거의 닮는 구간이고, 뒤쪽 칸은 갈라지기 시작한 여러 계산이 놓이는 구간이다. 같은 크기로 그려진 일곱 칸이라도, 칸에 담긴 계산의 확실함은 같지 않다.

관측을 더 잘하면 예보가 버티는 날도 늘어난다. 다만 자리 하나가 버는 몫은 3변수 식에서 잰 값이고, 실제 대기에서는 그보다 적을 수 있다. 처음 차이를 열 배 줄여도, 예보가 버티는 시간은 열 배가 아니라 두 배 세 번 남짓만큼만 늘어난다.

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