끼리끼리 모여 사는 동네를 보면, 다들 같은 편만 고집한 것처럼 보인다. 그런데 두 색 단추를 섞어 두고 둘레에 같은 색이 절반이 안 되는 단추만 빈칸으로 옮기게 해도, 끝난 판에서는 이웃의 80% 가까이가 같은 색이 된다. 단추들이 바란 것보다 판은 훨씬 더 갈린다. 그래서 갈린 모습만 보고는 저마다 무엇을 바랐는지 거꾸로 읽어 내기 어렵다. 이렇게 이웃에 대한 작은 바람이 모여 판 전체가 갈리는 모형을 셸링의 분리 모형(Schelling’s segregation model)이라고 한다.
바둑판 칸에 두 가지 색 단추를 아무렇게나 흩어 놓고, 군데군데 빈칸도 남겨 둔다. 정해 두는 것은 옮기는 규칙뿐이다 — 둘레 여덟 칸에 놓인 단추 가운데 같은 색이 절반이 안 되면, 그 단추를 조건이 맞는 가장 가까운 빈칸으로 옮긴다. 옮긴 단추 때문에 둘레가 바뀐 단추도 같은 규칙을 따른다. 더 옮길 단추가 없어질 때까지 이 일을 되풀이한 뒤, 멈춘 판의 모양을 본다.
비슷한 사람끼리 한 동네에 모여 사는 모습을 보면 묻게 된다. 사람들은 왜 끼리끼리 모일까? 이 판의 단추처럼 이웃의 절반만 같은 편이면 된다는 사람들이 옮겨 다니면, 한 사람이 옮길 때마다 이웃이 바뀐 다른 사람이 새로 옮기기도 한다. 그렇게 옮김이 이어져 더 옮길 사람이 없어진 판에서는, 아무렇게나 섞였을 때 절반쯤이던 같은 편 이웃이 80% 가까이로 늘어난다. 바란 것보다 결과가 훨씬 더 갈린 것이다.
토머스 셸링(Thomas C. Schelling)이 1971년 논문에서 손으로 돌린 판에서도, 이 글이 같은 조건으로 20번 돌린 판에서도 결과는 이 근처였다. 여기서 80%는 동네 인구의 몫이 아니라, 저마다의 둘레 이웃 가운데 같은 편이 차지하는 몫이다. 바라는 몫이 약 3분의 1이면 판은 조금만 갈린다. 바람의 세기가 바뀌면 갈림의 크기도 바뀌지만, 둘은 같은 크기로 움직이지 않는다. 그래서 갈린 모습 하나만 보고는 사람들이 얼마나 강하게 같은 편을 바랐는지 짐작하기 어렵다.
절반만 바란 70명은 얼마나 갈렸을까
셸링의 논문 앞부분 실험은 판이 아니라 한 줄이다. 별 기호를 단 사람 35명과 영(0) 기호를 단 사람 35명, 모두 70명이 아무렇게나 섞여 한 줄로 서 있다. 저마다 양옆 4명씩, 8명을 이웃으로 친다. 누구나 이 8명 가운데 4명 이상이 자기와 같은 기호이길 바란다. 자기까지 넣어 9명으로 세면 5명, 아슬아슬한 과반이다.
만족 못 한 사람은 바람이 맞는 가장 가까운 자리로 가서 두 사람 사이에 끼어든다. 바람이 맞는 자리란 도착한 그 순간 이웃의 절반이 자기 편인 자리이고, 가까운 자리란 가는 길에 지나치는 사람이 가장 적은 자리다. 한 사람이 옮기면 떠난 자리와 들어간 자리의 이웃이 바뀌어, 처음에는 괜찮던 사람이 새로 만족 못 하게 되기도 한다.
처음 줄에서 만족 못 한 사람은 별 12명, 영 14명, 모두 26명이었다. 줄 끝에 선 사람은 한쪽 이웃이 모자라서, 70명의 이웃 칸을 모두 더하면 70 × 8 = 560이 아니라 540칸이다. 원문의 처음 줄을 이 글이 다시 세어 보면, 이 540칸 가운데 같은 편이 252칸, 46.7%다.
만족 못 한 사람들이 차례로 자리를 옮기고 나자, 줄은 더 옮길 사람이 없는 모양으로 멈췄다. 셸링이 적은 결과는 같은 기호끼리 모인 덩이 여섯이고, 크기는 8·15·10·15·16·6명, 평균 12명이다. 그는 다른 것은 그대로 두고 무작위 배열만 바꿔 탁자 위에서 더 해 보았다. 그러면 덩이가 다섯 개쯤(평균 14명)에서 일곱·여덟 개(평균 9~10명)까지 나오고, 여섯 덩이에 12명이 가장 흔한 것 같다고 적었다.
멈춘 줄에서 같은 편 이웃은 540칸 가운데 440칸, 81.5%다. 셸링은 이 결과를 이렇게 풀었다. 자기까지 넣어 5 대 4 이상을 바란 사람들이, 평균으로는 자기 편이 5 대 1을 조금 넘는 동네에 살게 됐다.
그림 1의 아래 줄을 두고 셸링은 한 가지를 더 짚었다. 사람들이 자기가 소수가 되는 것만 싫을 뿐 섞인 동네를 더 좋아했다면, 이 줄에서 그 바람을 이룬 사람은 70명 가운데 40명뿐이다. 나머지 30명은 다른 편 이웃이 한 명도 없다. 셸링 스스로 이 줄은 길가의 집을 고르는 사람들을 그대로 찍은 영상이라 하기엔 너무 추상적이고 인위적이라고 적었다. 그래도 분리가 생기는 과정을 짐작하게 하고, 저마다의 동기로 생기는 분리에 있을 법한 움직임 일부를 보여 준다고 보았다.
이웃에 대한 작은 바람과 자리 옮기기만 두고 사람들이 얼마나 갈려 사는지를 보는 이 모형을, 그의 이름을 따 셸링의 분리 모형이라고 부른다. 셸링은 같은 실험을 가로세로 칸이 난 판으로 옮겨서도 해 보았다. 판으로 가기 전에, 한 줄 위에서만 봐도 바란 몫(이웃 8명 가운데 4명)과 얻은 몫(81.5%)이 이만큼 벌어졌다.
끼리끼리 모이는 판은 어떻게 생길까
셸링의 판은 13행 16열, 208칸이다. 그는 별과 영 기호 138개를 같은 수로 흩고, 나머지 70칸, 약 3분의 1을 빈칸으로 남겼다. 첫 판 실험의 규칙도 줄과 같았다. 누구나 이웃의 절반 이상이 같은 기호이길 바라고, 바람이 맞지 않는 쪽은 바람이 맞는 가장 가까운 빈칸으로 옮긴다. 그 뒤 실험에서는 빈칸을 대개 30% 안팎으로 두었는데, 빈칸이 25~30%면 판이 너무 비지 않으면서도 꽤 자유롭게 옮겨 다닐 수 있다고 적었다.
이 글은 같은 크기의 판을 컴퓨터로 돌렸다. 셸링의 별과 영 대신 짙은 단추와 옅은 단추를 같은 수로 쓴다. 이웃은 둘레 여덟 칸이고, 판 가장자리에서는 다섯 칸, 모서리에서는 세 칸이다. 빈칸은 이웃으로 세지 않으므로, 둘레에 단추가 몇 개 있느냐에 따라 같은 편이 몇 개 있어야 하는지가 달라진다. 바람이 맞지 않는 단추는 바람이 맞는 가장 가까운 빈칸으로 옮긴다. 셸링은 이 일을 손과 눈으로 했고 옮기는 차례도 엄격히 정하지 않았다고 밝혔으므로, 차례처럼 정해지지 않은 부분은 이 글이 정해서 채웠다.
옮기기 전에 알아 둘 것이 하나 있다. 두 색을 같은 수로 아무렇게나 섞은 판에서도, 단추마다 이웃의 절반쯤은 처음부터 같은 색이다. 두 색이 같은 수이니 둘레에 놓인 단추가 어느 색일지는 대략 반반이기 때문이다. 빈칸 62칸(29.8%)인 이 글의 판에서 처음 판 20개를 재면, 단추마다 둘레 이웃 가운데 같은 색의 몫을 낸 평균이 50.8%다. 아무것도 바라지 않는 「0%」의 판은 옮길 단추가 없으니 이 50.8%에 그대로 머문다.
왼쪽은 무작위로 섞은 처음 판이고, 오른쪽은 멈춘 끝 판이다. 끝 판의 청록색 테두리는 아직 바람이 맞지 않는 단추다. 큰 상자의 숫자는 같은 조건으로 돌린 판 20개의 평균이고, 「처음 판」 알약과 회색 「이 판의 예」는 화면에 보이는 그 한 판의 값이다. 끝 판 아래의 끝 사유는 그 판이 모두 만족해서 멈췄는지, 만족할 빈칸이 없어 아무도 못 움직인 채 얼어붙었는지를 알린다. 카드 안 문구대로, 이 작은 판의 숫자는 실제 도시의 숫자가 아니다.
입력 칸의 「빈칸 비율(약)」 20·30·40%는 어림한 이름이다. 실제로는 빈칸 42·62·84칸, 곧 20.2·29.8·40.4%이고, 알약에 칸 수가 함께 뜬다. 알약 아래 줄은 지금 고른 비율이 둘레 단추가 8개일 때와 4개일 때 같은 편을 몇 개씩 요구하는지 보여 준다. 판 그림은 단추가 옮겨 가는 과정을 재생하지 않고, 처음과 끝 두 장면만 나란히 놓는다.
- 그림 2에서 「빈칸 비율(약)」은 30%에 두고, 「같은 편이길 바라는 이웃 비율」을 0%, 30%, 50%로 차례로 맞추며 큰 상자의 숫자(같은 조건 20판 평균)를 적는다.
- 바라는 비율을 70%, 85%, 100%로 올리며 같은 숫자와, 큰 상자 오른쪽의 「얼어붙은 판 — 20판 중 몇 판」을 함께 적는다.
- 바라는 비율을 100%에 둔 채 빈칸 비율을 20%, 30%, 40%로 바꿔 가며 같은 두 값을 적는다. 바라는 비율을 50%로 내려 같은 일을 한 번 더 한다.
셋째 단계에서는 빈칸의 수가 같은 바람의 결과를 얼마나 바꾸는지 본다. 회색 「이 판의 예」와 끝 사유는 그림에 보이는 한 판의 것이라, 바라는 비율이 높을 때는 20판 평균과 다르게 오르내리기도 한다. 그래서 숫자는 큰 상자에서 읽는다. 적은 숫자가 무엇을 뜻하는지는 다음 절에서 셸링의 결과와 함께 푼다. 규칙은 그대로이고 바뀌는 것은 바라는 비율과 빈칸뿐이니, 끝 판에서 달라지는 것은 모두 그 두 값이 만든 차이다.
바란 만큼만 갈리지 않는 것은 왜일까
빈칸 62칸 판에서 바라는 비율이 30%면 끝 판의 같은 편 이웃은 20판 평균 66.0%이고, 50%면 80.0%다. 50%를 바란 판이 바란 몫보다 30%p(퍼센트포인트) 더 갈린 셈이다. 처음 섞은 판이 이미 50.8%였으니, 옮겨 다니며 늘어난 몫만 따져도 29%p 남짓이다.
바라는 비율이 모든 단추에 똑같이 걸리는 것도 아니다. 이웃 수가 정수라서 필요한 수는 계단처럼 끊긴다. 「50%」는 둘레에 단추가 8개면 4개를 뜻하지만, 3개면 2개(67%), 1개면 1개(100%)를 뜻한다. 그래서 50%를 바란 판의 끝 판에서 실제로 걸린 바람은 평균 55.4%였다. 55.4%에서 80.0%까지는 옮기는 일이 쌓여 생긴다.
셸링은 바라는 몫이 커지면 세 가지가 함께 커진다고 적었다. 처음부터 바람이 맞지 않는 단추가 많아진다. 옮긴 단추는 같은 편 이웃을 더 얻고, 더 많은 단추의 같은 편 이웃이 된다. 옮긴 단추 때문에 괜찮던 단추까지 옮기게 되는 일도 는다. 이 셋이 겹쳐 바라는 몫이 약 35%에서 50% 사이일 때 갈림이 빠르게 커진다고 그는 보았다.
셸링의 숫자와 견주려고, 그의 판과 같은 단추 138개와 빈칸 70칸으로 따로 20판을 돌렸다. 절반 규칙에서 끝 판의 같은 편 이웃은 평균 79.0%였다. 같은 조건에서 처음 섞은 판은 평균 49.1%였으니, 절반 규칙은 같은 편 이웃을 30%p 가까이 끌어올렸다.
셸링의 「약 3분의 1」 규칙은 이웃이 4개 이하면 같은 편 1개, 5개 이상이면 2개를 바라는 것이다. 이 규칙으로 돌린 판은 평균 58.1%로, 처음 판보다 9.0%p 올랐다. 셸링은 이 정도 바람에서는 갈림이 「조금(slight)」이라고 적었고, 같은 편 이웃이 다른 편 이웃의 1.5배가 안 된다고 했다. 이 글의 판에서 그 배수는 1.33이다. 다만 절반 이상을 바랄 때 셸링은 그 배수가 4배를 넘는다고 적었다. 이 글의 절반 규칙 20판 평균은 3.48배로, 손으로 돌린 그의 판들보다 낮다.
그림 2의 입력 칸에서 30%는 셸링의 「약 3분의 1」보다 까다로운 규칙이다. 이웃이 4개일 때 30%는 같은 편 2개를 요구한다. 셸링의 규칙표와 똑같은 것은 눈금 21~25%이고, 입력 칸에서는 25%다.
두 번째 단계에서 바라는 비율을 70%보다 더 올리면, 같은 편 이웃은 오히려 줄었다. 빈칸 62칸 판에서 70%는 97.5%였지만, 85%는 63.6%, 100%는 59.7%였다. 85% 이상에서는 20판 모두 만족할 빈칸이 없어 얼어붙었다. 바라는 것이 너무 까다로우면 옮겨 갈 자리가 없어, 판이 덜 갈린 채로 굳는다.
그림 3는 빈칸 62칸 판에서 옮기는 방법 셋을 견준다. 규칙 A는 그림 2의 판과 같은 방법이고, B는 차례만 섞으며, C는 만족하는 빈칸 아무 곳으로나 옮긴다. 세 곡선은 오르다 끝에서 꺾이는 모양이 같지만, 30%에서 A는 66.0%, B는 65.2%, C는 73.6%로 값이 다르다.
빈칸이 넉넉하면 규칙 A의 반전은 크게 줄어든다. 빈칸 84칸(40.4%) 판에서는 100%를 바라도 같은 편 이웃이 92.8%였고, 20판 가운데 15판이 모두 만족한 채 끝났다. 여기서 B는 71.2%(20판 중 18판 얼어붙음), C는 77.2%(13판)였다. 빈칸과 옮기는 방법에 따라 판이 달리 갈리니, 끝 판의 퍼센트는 단추들이 바란 퍼센트를 그대로 옮겨 놓은 값이 아니다.
이 판이 말해 주지 않는 것
셸링은 이 모형에서 분리를 만드는 큰 과정 둘을 일부러 뺐다고 밝혔다. 하나는 법을 어겼든 아니든, 드러났든 숨었든, 사람을 밀어내는 조직적인 행동이다. 다른 하나는 대체로 경제적인 과정으로, 가난한 사람과 부유한 사람이 일하고 사는 곳, 아는 사람, 다니는 학교에서 갈리는 일이다. 그렇다고 이것들이 힘이 약하거나 덜 중요하다는 말은 아니라고 덧붙였다. 꾸며 낸 바둑판 위의 숫자에는 실제 세상의 대응 수치가 아마 없을 것이라고도 적었다.
셸링이 다룬 것은 미국에서 흑인과 백인이 사는 동네가 갈리는 일이었다. 그는 피부색이 소득과, 소득이 사는 곳과 얽혀 있다고 적었다. 그래서 집을 피부색과 상관없이 고르고 조직적인 차별이 없더라도, 두 집단이 집집이 아무렇게나 흩어져 살지는 않을 것이라고 보았다.
집을 구할 때의 차별은 직접 재 본 조사가 있다. 미국 주택도시개발부(HUD)가 2013년에 펴낸 주거 차별 조사는 백인 한 사람과 소수 집단 한 사람을 같은 자격의 집 구하는 사람으로 꾸며, 따로 집을 문의하게 했다. 이 시험을 28개 대도시권에서 8,000건 넘게 했다. 약속을 잡고 나와 있는 집을 한 채라도 소개받는 데까지는 대체로 차이가 없었다. 하지만 소개받은 집도, 직접 본 집도 소수 집단 쪽이 백인보다 적었다.
세 들 집을 문의한 흑인 쪽은 같은 자격의 백인보다 나와 있는 집을 11.4% 적게 알게 됐고, 4.2% 적게 봤다. 다만 보고서 스스로, 지금의 차별이 주거 격차를 얼마나 만드는지는 덜 분명하다고 적었다. 백인과 소수 집단은 일자리·소득·자산·빚도 체계적으로 다르기 때문이다. 선호 쪽 설명을 펴 온 Clark·Fossett도 분리는 여러 요인이 함께 작용해 생겼을 가능성이 매우 높다고 썼다. 이 판은 그 요인들을 원인별 몫으로 나눠 주지 못한다.
「끼리끼리 노는 이유」를 찾아 들어왔다면, 친구가 끼리끼리 어울리는 일은 낱말만 같은 다른 현상이다. 친구 관계를 연구한 Currarini·Jackson·Pin은, 비슷한 친구끼리 어울리는 모습이 좋아하는 마음과 만날 기회 둘 다에 영향받을 수 있다고 적었다. 만남이 한쪽으로 쏠리는 예로는 반 편성, 동아리 활동, 친구의 친구를 통한 만남을 들었다. 이런 만남의 기회는 빈칸으로 자리를 옮기는 이 판의 규칙에 들어 있지 않다.
갈린 판 하나를 보면 무엇을 말할 수 있을까
여러 학과가 함께 듣는 교양 수업 강의실을 둘러보면, 같은 학과 학생끼리 모여 앉은 줄이 눈에 띈다. 그 모습만 보면 다들 제 학과 사람 곁만 고집한다고 여기게 된다. 이 글의 판이 보탤 수 있는 말은 이만큼이다. 사람들이 자리를 옮겨 다닌 끝에 남은 모습일 수 있고, 이웃의 절반쯤만 같은 편이길 바라도 판은 그보다 훨씬 더 갈릴 수 있다.
말할 수 없는 것도 있다. 사람들의 바람이 그만큼 셌다는 것도, 거꾸로 바람이 아예 없었다는 것도 자리 배치에서는 가려낼 수 없다. 빈칸이 적은 판에서는 바람이 너무 까다로워 오히려 덜 갈린 채 굳기도 했으니, 갈림이 작다고 바람이 약했다고 말할 수도 없다. 셸링은 이 한계를 논문 첫 쪽의 요약에 적어 두었다. 개인이 바란 것과 모두가 만든 결과가 단순하게 대응하지 않는다는 문장, 자리를 옮기는 움직임이 지나친 갈림을 만든다는 문장에 바로 이어지는 문장이다.
Inferences about individual motives can usually not be drawn from aggregate patterns.
모인 모습에서 개인의 동기를 끌어내는 일은 대개 할 수 없다.
Thomas C. Schelling, 「Dynamic Models of Segregation」, Journal of Mathematical Sociology 1(2), 1971셸링의 판에서 옮겨 다닌 것은 기호였지만, 그가 빗댄 것은 사는 곳을 고르는 사람들이다. 강의실 자리도 동네도, 갈린 모습은 사람들이 저마다 조금씩 자리를 고친 끝에 남은 것일 수 있다. 이웃 절반만 같은 편이길 바란 사람들의 판이 80% 가까이 갈려도, 그 판만 보고 사람들이 무엇을 바랐는지 거꾸로 읽어 내기는 어렵다.
더 읽기
- Thomas C. Schelling, 「Dynamic Models of Segregation」, Journal of Mathematical Sociology 1(2):143–186(1971), DOI 10.1080/0022250X.1971.9989794 — 공개 사본 https://www.suz.uzh.ch/dam/jcr:00000000-68cb-72db-ffff-ffffff8071db/04.02_schelling_71.pdf
- L. Gauvin, J. Vannimenus, J.-P. Nadal, 「Phase diagram of a Schelling segregation model」, The European Physical Journal B 70(2):293–304(2009) — https://arxiv.org/abs/0903.4694
- W. A. V. Clark, M. Fossett, 「Understanding the social context of the Schelling segregation model」, PNAS 105(11):4109–4114(2008) — https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC2393808/
- S. Currarini, M. O. Jackson, P. Pin, 「An Economic Model of Friendship: Homophily, Minorities, and Segregation」, Econometrica 77(4):1003–1045(2009) — 작업 논문판 https://web.stanford.edu/~jacksonm/netminority.pdf
- Margery Austin Turner 외(The Urban Institute), 「Housing Discrimination Against Racial and Ethnic Minorities 2012」, HUD Office of Policy Development and Research(2013) — https://www.huduser.gov/portal/publications/pdf/hud-514_hds2012.pdf