내가 만난 잘생긴 사람은 성격이 별로였다는 말이 있다. 그런데 외모와 성격이 서로 아무 상관이 없어도 그렇게 보일 수 있다. 둘 다 별로인 사람이 애초에 눈에 들어오지 않는다면, 남은 사람끼리 견줄 때 잘생긴 쪽이 덜 다정해 보인다. 이렇게 골라진 무리 안에서만 생기는 반비례를 벅슨의 역설(Berkson’s paradox)이라고 한다.
「잘생긴 사람치고 성격 좋은 사람 못 봤어.」 소개팅을 몇 번 해 본 친구가 이렇게 말하면, 외모와 성격이 정말 서로 반대로 가는지부터 궁금해진다. 친구가 괜히 하는 말은 아니다. 이를테면 지난번 상대는 사진보다 훨씬 잘생겼는데 밥 먹는 내내 휴대전화만 봤고, 그다음 상대는 말이 잘 통했지만 외모는 평범했다는 식이다.
그런 만남이 몇 번 쌓이면 한 사람의 경험이 규칙처럼 굳고, 듣는 사람에게도 비슷한 얼굴 몇이 쉽게 떠오른다. 잘생긴 사람은 왜 성격이 별로일까? 둘 중 하나라도 괜찮은 사람만 눈에 들어오면, 두 성질이 서로 무관해도 내 주변에서는 한쪽이 좋을수록 다른 쪽이 못해 보인다.
친구가 본 반비례는 친구가 만난 사람들 안에 실제로 있다. 다만 그 반비례를 만든 것이 외모와 성격의 관계인지, 사람들이 친구 앞에 오게 된 방식인지는 따로 따져야 한다. 앞의 경우라면 외모가 성격을 바꾸거나, 둘을 함께 움직이는 무언가가 있어야 한다. 「잘생긴 사람은 늘 떠받들려 살아서 남을 덜 배려한다」 같은 설명이 그런 쪽이다. 뒤의 경우라면 친구가 떠올린 얼굴들 바깥에 처음부터 빠진 사람들이 있고, 그 빈자리가 반비례를 만든다. 이 글은 뒤의 경우부터 본다.
둘 다 별로인 사람은 어디로 갔을까
『틀리지 않는 법』을 쓴 조던 엘렌버그(Jordan Ellenberg)는 2014년 Slate 칼럼에서 친구와 같은 관찰을 정사각형 하나로 풀었다. 그가 든 예도 데이트 상대인 남자들 가운데 잘생긴 쪽은 대체로 다정하지 않고, 다정한 쪽은 대체로 잘생기지 않더라는 이야기다. 그는 가로를 잘생긴 정도, 세로를 다정한 정도로 정한다. 그리고 남자들이 이 정사각형 위에 고르게 흩어져 있다고 치고 시작한다. 실제 분포를 잰 것은 아니고, 생각을 풀어 가려고 둔 가정이다.
정사각형의 네 귀퉁이에는 네 부류가 앉는다. 오른쪽 위는 잘생기고 다정한 사람, 오른쪽 아래는 잘생겼지만 무뚝뚝한 사람이다. 왼쪽 위는 외모는 평범해도 다정한 사람, 왼쪽 아래는 둘 다 별로인 사람이다. 엘렌버그의 가정에서는 네 부류가 대략 같은 수만큼 섞여 있어서, 외모를 알아도 다정함을 짐작할 수 없다.
다음은 고르는 규칙이다. 엘렌버그는 성격도 나쁘고 못생긴 사람은 솔직히 처음부터 고려하지도 않는다고 적었다. 그러면 정사각형의 왼쪽 아래 모서리, 곧 둘 다 낮은 사람들이 통째로 빠진다. 남은 사람들은 오른쪽 위에 모이고, 남은 무리의 아래쪽 경계는 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 비스듬히 지나간다. 맨 위 그림이 이 모양을 점으로 그린 것이다. 그림의 점은 판에 고르게 흩어지지 않고 가운데가 진한 구름을 이루는데, 이 차이는 숫자를 다루는 절에서 다시 본다.
이 무리 안에서는 두 성질의 처지가 서로 다르다. 이를테면 외모와 다정함을 각각 10점 만점으로 매기고, 둘을 더해 10점을 넘어야 눈에 들어온다고 하자. 외모 9점인 사람은 다정함이 2점이어도 남는다. 외모 3점인 사람은 다정함이 8점은 돼야 남는다. 그래서 남은 사람 가운데 외모 3점짜리는 모두 다정함 8점 이상이고, 외모 9점짜리는 다정함 2점부터 10점까지 흩어진다.
엘렌버그의 말로는, 덜 잘생긴 쪽은 다정하지 않았다면 애초에 눈에 띄지도 않았을 사람들이다. 남은 사람끼리 견주면 잘생긴 사람이 덜 다정해 보이는 반비례가 이렇게 생긴다. 그래도 엘렌버그는 이 반비례를 착각으로 치지 않는다.
The negative correlation between looks and personality in your dating pool is absolutely real. But the relation isn’t causal.
데이트 상대로 만나는 사람들 안에서 외모와 성격 사이의 반비례는 진짜로 있다. 하지만 그 관계는 한쪽이 다른 쪽을 일으키는 관계가 아니다.
Jordan Ellenberg, 「Why Are Handsome Men Such Jerks?」, Slate(2014-06-03)그가 덧붙인 말 하나는 짐작이다. 데이트 사이트 OkCupid에서 남자를 완전히 무작위로 골라 만나면, 덜 잘생긴 남자도 조각 같은 미남만큼 무례할 것이라고 그는 적었다. 다만 그 문장 앞에 「I imagine」(내 짐작에는)을 달았다. 무작위로 만나 보고 확인한 결과는 아니다.
이렇게 골라진 무리 안에서 서로 무관한 두 성질이 반비례처럼 보이는 일을 벅슨의 역설(Berkson’s paradox)이라고 부른다. 1946년에 병원 자료를 다룬 논문을 쓴 통계학자 조지프 벅슨(Joseph Berkson)의 이름을 땄다. 그 논문이 실제로 무엇을 보였는지는 뒤에서 따로 본다.
뿌리가 같은 착시를 이 블로그가 친구 역설 편에서 다룬 적이 있다. 내가 보는 친구 명단이 친구 많은 사람 쪽으로 기울어 평균이 부푸는 일이다. 친구 역설이 평균 하나를 부풀린다면, 벅슨의 역설은 서로 무관한 두 성질 사이에 없던 반비례를 만든다. 두 착시 모두 내가 보는 무리가 이미 골라져 있다는 데서 생긴다. 엘렌버그의 정사각형에서 반비례는 실제로 생기고, 그것을 만든 것은 사람을 고르는 방식 하나다.
내 앞의 사람들은 어떤 길로 왔을까
내가 본 반비례를 믿기 전에, 그 사람들이 어떻게 내 앞에 오게 됐는지부터 묻는다. 소개로 만난 사람, 같이 일하게 된 사람, 화면에서 자주 보는 연예인은 저마다 무언가를 통과해 내 눈에 들어왔다. 따질 것은 그 통과 기준이다. 기준이 「외모든 성격이든 둘을 합쳐 어느 선만 넘으면 된다」였다면, 내 앞의 무리에는 외모 덕에 들어온 사람과 성격 덕에 들어온 사람이 섞여 있다. 주선자가 「사람은 정말 좋아」나 「얼굴은 확실해」 가운데 하나를 내세워 소개했다면, 그 사람은 둘 중 한쪽 덕에 내 앞에 왔다.
그래서 물음은 두 가지로 좁혀진다. 외모만 좋아도 또는 성격만 좋아도 내 앞에 올 수 있었는가, 그리고 둘 다 별로인 사람에게도 내 앞에 올 기회가 있었는가. 외모도 성격도 따지지 않고 번호 순으로 짠 조처럼 모인 무리라면, 이런 고르기가 만드는 반비례는 끼어들 자리가 없다. 다만 사람들이 실제로 합을 따져 골라 만난다는 측정은 없다. 엘렌버그도 그렇게 고른다고 치고 시작했으니, 이 물음은 내 앞의 사람들이 둘을 합쳐 따지는 식으로 골라졌는지를 확인하는 순서다. 그런 무리 안의 반비례만으로는 외모와 성격의 관계를 알 수 없다.
더 까다롭게 고르면 반비례도 커질까
반비례가 얼마나 뚜렷한지는 상관 계수(correlation coefficient)라는 수 하나로 적는다. 두 값이 함께 움직이는 정도를 −1에서 1 사이로 나타낸 수다. 0이면 관계가 없고, 음수면 한쪽이 클수록 다른 쪽이 작다. 엘렌버그의 정사각형처럼 점수가 끝에서 끝까지 고르게 퍼진 판에서 왼쪽 아래 절반을 잘라 내면, 남은 사람끼리의 상관 계수는 이 글의 계산으로 정확히 −0.5다.
이번에는 가상의 동네 사람들에게 외모와 다정함 점수를 서로 무관하게 매겼다. 점수 모양은 엘렌버그의 판과 달리, 가운데가 많고 양 끝으로 갈수록 드문 모양이다. 그리고 두 점수를 더한 합이 높은 쪽부터 10명 중 몇 명만 만난다고 정했다. 10명 중 5명·3명·2명·1명을 만나면, 만난 사람끼리의 상관 계수는 차례로 −0.47·−0.58·−0.64·−0.71이다. 고르기 전 동네 전체에서는 0이다. 절반을 남긴 5명 쪽이 −0.5보다 0에 조금 더 가까운 것은 점수 모양이 달라서다.
그림 1에서 칸을 바꿔 보면, 고르는 선이 올라갈수록 점들이 선을 따라 더 좁은 띠로 몰리고 큰 숫자가 −0.71까지 내려간다. 선이 높을수록 반비례가 더 뚜렷해지는 순서는 다른 방식으로 다시 재도 같았다. 열 명 중 한 명만 만나는 사람 눈에는 서로 무관한 두 성질이 꽤 뚜렷한 반비례로 보인다.
그럼 내가 만난 잘생긴 사람은 정말 무뚝뚝할까
10명 중 2명을 만나는 경우로 다정함 평균을 견줘 보았다. 점수는 동네 평균을 0으로 두고, 동네 사람들끼리 흔히 벌어지는 만큼의 차이를 1로 잡았다. 만난 사람 전체의 다정함 평균은 0.99이고, 그 가운데 외모가 가장 높은 10%의 다정함 평균은 0.24이다. 만난 사람끼리 견주면 잘생긴 쪽이 눈에 띄게 덜 다정하지만, 동네 사람 전체와 견주면 평균보다 조금 더 다정하다. 엘렌버그도 그의 판에서 가장 잘생긴 쪽이 사람들 전체의 평균쯤 다정하다고 적었다. 무뚝뚝해 보이는 것은 비교 상대가 이미 골라진 사람들이라서다.
「둘 다 좋은 사람은 드물다」는 말도 기준을 밝혀야 선다. 같은 경우에서 동네 평균을 기준으로 위아래를 나누면, 만난 사람의 80.0%가 외모와 다정함 모두 평균 위다. 각자 동네 상위 10%를 기준으로 나누면 둘 다 좋은 사람은 5.0%이고, 한쪽만 좋은 사람은 각각 29.8%다. 둘 다 좋은 사람이 드물어 보이는 것은 「좋다」의 선을 높게 그을 때의 이야기다.
원조 벅슨의 병원 기록은 어느 쪽이었을까
이름의 주인인 벅슨이 1946년 논문에서 다룬 것은 병원 기록이다. 당시 일부 의료계에서는 쓸개를 떼어 내는 수술이 당뇨 치료법으로 쓰이고 있었다. 논문은 병원이 쌓아 둔 기록을 통계로 살펴 그 치료를 뒷받침할 수 있는지 묻는 데서 출발한다. 논문이 다룬 병원 기록은 반비례와 반대 방향이었다. 당뇨 환자 가운데 쓸개 염증 환자는 4.86%, 안경을 맞추러 온 환자 가운데서는 2.54%였다(표 3). 당뇨가 없는 환자 전체와 견줘도 4.86% 대 3.28%로 같은 쪽이었다(표 2).
그는 이어서 당뇨 환자, 쓸개 염증 환자, 안경을 맞추러 온 환자라는 세 무리가 온 인구에서는 서로 무관하다고 가정했다. 그리고 무리마다 병원에 들어올 확률(입원 확률)을 따로 정해 병원 안의 비율을 계산했다. 입원 확률을 모두 0.05로 같게 두면 당뇨 환자 쪽이 조금 낮게 나온다. 쓸개 염증 비율이 당뇨 환자 쪽 5.45%, 안경을 맞추러 온 환자 쪽 5.69%다. 당뇨 환자 0.05, 쓸개 염증 환자 0.15, 안경을 맞추러 온 환자 0.20으로 다르게 두면 8.55% 대 4.72%로 당뇨 쪽이 약 두 배가 된다. 그림 2처럼 같은 계산 규칙이 확률만 바꿔 방향을 뒤집는다.
그의 결론은 이 문장이다. 「It appears from the development that it is hazardous to apply in a hospital population the method of the fourfold table analysis for an inquiry into the correlation of diseases.」 병원 환자만 모은 표로 두 병의 관계를 따지는 일은 위험하다는 것이다. 그는 환자 대신 아무렇게나 섞은 카드를 뽑아도 같은 결과가 나온다고 덧붙였다.
「좋은 두 성질이 반비례로 보인다」는 단순한 꼴은 엘렌버그나 통계 교재가 나중에 「둘 중 하나만 넘어도 남는」 고르기로 정리한 것이다. 벅슨의 원래 계산에서 방향을 가른 것은 무리마다 다르게 둔 입원 확률이었다. 벅슨이 경고한 것은 병원 안에서 잰 관계는 방향부터 믿기 어렵다는 점이었다.
실제로 재 보면 잘생긴 사람은 성격이 별로일까
Feingold(1992)는 여러 연구를 모아 다시 계산했다. 평가자들이 매긴 외모 점수와 「남을 이용하려는 성향이 없는 정도」의 상관 계수는 −0.01이었다(연구 5편·252명). 「자기 생각과 감정에 쏠리지 않은 정도」와는 −0.08이었다(연구 11편·746명). 저자는 두 특성 모두 외모와 관계가 없다고 결론지었다.
같은 표에서 사회적 기술은 +0.23으로 외모와 관계가 보였다. 성품 쪽 두 값은 모은 연구가 5편·11편뿐이라 이것만으로 단정하기는 어렵다. Costa·Maestripieri(2025)는 이탈리아 대학생 231명에게서 얼굴 사진을 받고, 또래 판정자 236명에게 그 얼굴을 매기게 했다. 남에게 다정한 정도를 묻는 성격 검사 점수는 스스로 매긴 외모와도, 남이 매긴 외모와도 의미 있는 관계가 없었다.
반대쪽 단서도 있다. Langlois 연구팀(2000)은 매력적인 아이와 어른이 덜 매력적인 쪽보다 더 긍정적인 행동과 특성을 보인다고 논문 앞부분에 실린 요약문에 적었다. 그 특성에 무엇이 들어 있는지는 본문을 읽지 못해 확인하지 못했다.
이 글이 훑은 문헌에는 실제 데이트 상대들의 자료로 이 착시를 직접 보여 준 연구가 없었다. 엘렌버그의 정사각형도, 이 글의 계산도 가정에서 출발했다. 잰 값으로 보면 Feingold의 두 특성은 외모와 0 근처였고, Costa·Maestripieri의 다정함 점수도 외모와 의미 있는 관계가 없었다.
상 받은 책은 왜 상을 받고 나서 별점이 떨어질까
상을 받은 소설의 별점이 수상 뒤에 떨어진다면, 그 책이 갑자기 나빠진 걸까? Kovács·Sharkey(2014)는 2007~2011년에 이름난 문학상을 받았거나 최종 후보에 오른 영어 책들을 골랐다. 견준 것은 독서 사이트 굿리즈(Goodreads)에 올라온 독자 평 수천 건이다. 상을 받은 책은 발표 뒤 독자가 더 느는 편이었고, 별점도 최종 후보에 그친 책보다 더 가파르게 떨어지는 경향을 보였다. 저자들의 설명은 두 가지다. 상을 받으면 책을 평가하는 독자가 늘면서 취향이 다양해지고, 갑자기 커진 인기가 일부 독자에게 반감을 산다는 것이다.
엘렌버그의 칼럼은 줄리언 반스의 소설 『The Sense of an Ending』이 맨부커상을 받은 뒤 굿리즈 별점이 떨어진 이야기로 시작해, 같은 문단에서 이 연구로 넘어간다. 그는 이 연구를 상을 받은 영어 소설 32권으로 소개하며, 굿리즈 평균 별점이 수상 뒤 4점 조금 아래에서 3.75쯤으로 내려갔다고 옮겼다. 그리고 이 하락을 적어도 일부는(At least in part) 벅슨의 역설로 읽었다. 그의 풀이로는, 그 소설을 읽고 별점을 남긴 사람은 원래 그런 소설을 좋아할 사람이거나 상을 받았다는 소식에 집어 든 사람이다. 상을 받으면 독자가 처음부터 좋아할 사람들 바깥으로 넓어진다. 저자들의 첫째 설명과 거의 같은 풀이이고, 다른 점은 거기에 벅슨의 이름을 붙였다는 데 있다.
이 글의 계산과 꼴이 같은 고르기는 의학 연구에도 있다. de Ron 연구팀(2021)은 환자를 모아 하는 연구가 증상 같은 진단 기준의 점수를 더한 합으로 대상자를 고르는 일이 많다고 적었다. 이들은 우울증 환자 2,807명의 자료를 바탕으로 시뮬레이션을 두 번 짰다. 선을 높게 둔 경우일수록 원래 넣어 둔 증상 사이의 관계를 덜 정확히 되찾았다. 연구팀은 고르기가 증상끼리 없던 반비례를 끼워 넣어 그 정확도를 낮췄다고 보고했다. 합이 선을 넘는 사람만 남기는 규칙이 데이트 상대 대신 환자에게 쓰인 셈이다.
병원 자료로 돌아가면, 벅슨이 계산으로 보인 일을 실제 조사 자료로 확인한 기록이 있다. Snoep 연구팀(2014)이 소개한 Roberts 연구팀(1978)의 조사다. 가구 조사 세 건의 자료에서 최근 6개월 사이 입원한 사람만 따로 보자, 병 28쌍 가운데 대부분에서 인구 전체와 견줘 더 크거나 작은 가짜 관계가 나왔다. Snoep 연구팀 자신은 이 착시가 실제 질병 연구의 결과에 준 영향은 아주 적었거나 없었을 가능성이 크다고 보았다.
비만을 둘러싼 환자 자료도 같은 의심을 받았다. 이미 병을 앓는 환자만 모은 자료에서는 비만이 오히려 이로워 보이는 관찰이 있고, 환자로 모이는 과정 자체가 그런 모양을 만든다는 설명이 나왔다. Sperrin 연구팀(2016)은 그 설명이 일부는 맞을 수 있지만, 관계의 방향을 통째로 뒤집는 주된 설명이 되기는 어렵다고 범위를 좁혔다.
고른 무리 안에서 두 성질의 관계를 볼 때는 무엇이 그 무리를 골랐는지부터 묻는다. 「일 잘하는 동료는 까칠하다」는 말도, 일솜씨와 성격 가운데 하나만 좋아도 눈에 띄는 자리에서 나왔다면 같은 의심을 받을 만하다. 친구에게 돌려줄 질문도 같다. 그 사람들이 어떻게 친구 앞에 오게 됐는지 모르는 동안, 친구의 경험은 외모와 성격의 관계에 대해 아직 말해 주는 것이 없다. 서로 무관하게 뽑은 두 점수로 만든 우리 계산에서, 만난 사람끼리의 반비례는 고르는 규칙에서 나왔고 두 점수 사이에는 들어 있지 않다.
더 읽기
- Jordan Ellenberg, 「Why Are Handsome Men Such Jerks?」, Slate(2014-06-03) — https://slate.com/human-interest/2014/06/berksons-fallacy-why-are-handsome-men-such-jerks.html
- Joseph Berkson, 「Limitations of the Application of Fourfold Table Analysis to Hospital Data」, Biometrics Bulletin 2(3):47–53(1946) · International Journal of Epidemiology 43(2):511–515(2014) 재수록 — https://doi.org/10.1093/ije/dyu022
- Alan Feingold, 「Good-Looking People Are Not What We Think」, Psychological Bulletin 111(2):304–341(1992) — https://doi.org/10.1037/0033-2909.111.2.304
- 관련 글: 심슨의 역설: 부분마다 이긴 쪽이 합치면 진다 — 같은 자료를 나누느냐 합치느냐에 따라 방향이 뒤집히는 역설로, 어떤 무리만 남기느냐에 따라 없던 반비례가 생기는 이 글과 짝을 이룬다.