6단계 법칙, 먼 지인 몇 명이 세상을 좁힌다

100 × 100 × 100 × 100 × 100 = 100억. 한 사람이 아는 사람을 100명으로 치고 「친구의 친구의 …」를 다섯 번 건너가면, 유엔이 추계한 세계 인구 80억보다 많은 사람에게 닿는다는 곱셈이다.

이 곱셈은 「6단계 법칙」이 맞는 까닭처럼 들리지만, 맞는 답을 틀린 이유로 낸다.

그렇다면 6단계 법칙대로, 세상 사람은 정말 여섯 다리 안에 다 이어질까? 여기서 다리 하나는 아는 사이 한 줄이다. 나와 친구 사이가 1다리, 나와 친구의 친구 사이가 2다리다.

실제 거리는 여섯보다 짧다. 2016년 페이스북 활성 사용자 15.9억 명을 두고 잰 값에서 두 사람 사이 가장 짧은 길은 평균 다리 4.57개였다. 모든 짝의 가장 짧은 길 다리 수를 통계 기법으로 어림해 평균 낸 값이다. 사이에 낀 사람으로 세면 3.57명이다.

「다」 이어지느냐는 물음에는 「서로 닿는 짝 가운데 거의 다」가 정확한 답이다. 2011년 활성 사용자 7.21억 명을 잰 연구에서, 서로 닿는 짝의 92%가 다리 5개 안에 있었다.

연구진의 공개 집계 파일로 이 글이 따져 보면, 다리 6개 안, 곧 사이에 낀 사람이 5명 이하인 짝은 99.6%였다. 둘 다 길로 이어진 짝만 센 비율이고, 여섯 다리를 넘어야 닿는 짝도 남아 있다.

곱셈이 셈에 넣지 않은 것은, 친구의 친구가 내 친구와 겹친다는 사실이다. 와츠(Duncan Watts)와 스트로가츠(Steven Strogatz)는 1998년 논문에서, 겹침이 있는데도 거리가 짧을 수 있는 까닭을 설명했다. 친구 무리 사이를 잇는 멀리 사는 지인 몇 명이 그 까닭이라는 것이다. 그 설명이 어떻게 작동하는지는 고리 모양 마을에 줄 몇 개를 더해 보면 보인다.

6단계 법칙의 「여섯」은 무엇을 센 수일까

같은 사슬도 두 가지로 셀 수 있다. 나와 상대 사이에 낀 사람을 세거나, 사람에서 사람으로 건넨 횟수를 센다. 그림 1 위쪽 사슬에서 사이에 낀 사람은 5명이고, 건넨 횟수는 6번이다. 이 글은 건넨 횟수 한 번, 곧 아는 사이 한 줄을 다리 하나로 센다. 사이에 낀 사람 수는 언제나 다리 수보다 하나 적다.

밀그램의 편지 실험은 사이에 낀 사람을 셌다. 1969년 논문에서 목표 인물에게 닿은 편지 64통이 거친 중개자는 평균 5.2명이었다. 다리로 바꾸면 하나를 더한 6.2개다(이 글의 셈). 페이스북의 2016년 값은 사이에 낀 사람 3.57명, 다리 4.57개다.

영화배우 놀이 「케빈 베이컨의 6단계 법칙」은 처음부터 다리를 센다. 같은 작품에 함께 나온 두 사람을 1다리로 치고, 케빈 베이컨까지 몇 다리인지 센 수가 베이컨 수다. 흔히 케빈 베이컨 지수라고도 부른다. 2026년 8월 30일 기준 표에 든 1,824,345명의 베이컨 수는 평균 3.14다리였다.

비교는 같은 단위끼리만 한다. 「밀그램의 6에서 페이스북의 3.57로 절반 가까이 줄었다」는 말은 다리와 사람을 섞은 비교라 틀렸다. 사람끼리 세면 5.2명과 3.57명이고, 다리끼리 세면 6.2개와 4.57개다.

단위를 맞춰도 세 값을 한 줄로 세워 세상이 해마다 좁아졌다고 읽을 수는 없다. 잰 것이 서로 다르기 때문이다. 밀그램의 값은 사람이 골라 건넨 길이고, 그것도 목표에 닿은 편지만의 평균이다. 페이스북의 값은 모든 짝 사이의 가장 짧은 길이다. 베이컨 수는 베이컨 한 사람까지의 가장 짧은 길이다.

이름의 역사도 같은 혼동을 안고 있다. 밀그램의 1967년 잡지 기사와 1969년 논문에는 「여섯」을 사슬 길이로 적은 곳이 없다(이 글이 원문에서 찾아본 범위에서). 밀그램이 적은 수는 중개자 다섯 남짓이다. 「6단계 분리(six degrees of separation)」라는 말은 1990년 존 궤어(John Guare)의 같은 이름 희곡 뒤로 굳었다.

여섯이라는 수는 무엇을 셌는지 먼저 정해야 다른 수와 견줄 수 있다.

친구의 친구는 내 친구와 겹친다

곱셈이 틀리는 자리는 둘째 다리부터다. 내 친구 100명이 저마다 친구 100명을 두어도, 그 1만 명이 모두 새 사람은 아니다. 친구의 친구 가운데에는 이미 내 친구인 사람이 섞여 있고, 같은 사람이 여러 친구를 거쳐 두 번, 세 번 세어진다.

겹침이 길을 얼마나 늘이는지 보려고 극단을 하나 세운다. 사람 1,000명이 동그랗게 늘어서서 양쪽 이웃 5명씩, 모두 10명만 아는 고리 마을이다. 실제 사회가 이렇다는 말이 아니라, 겹침만 있는 경우를 보려고 만든 장난감이다.

이 마을에서는 한 다리 갈 때마다 새로 닿는 사람이 10명씩뿐이다. 그림 2의 회색 실선은 1다리 안에 10명, 2다리 안에 20명, 3다리 안에 30명으로 곧게 오르고, 8다리를 가도 80명에 그친다. 겹침 없이 곱하면 2다리째에 새로 100명이 늘어 2다리 안에 110명이 된다. 3다리 안이면 마을 전체 999명에 닿는다. 두 선 사이가 벌어진 만큼이, 곱셈은 셌지만 이 마을에서는 겹침 때문에 아직 닿지 못한 사람이다. 빨간 선과 검은 선은 지름길을 섞은 마을인데, 뒤에서 다시 본다.

이 장난감 마을에서 두 사람 사이는 평균 50.5다리이고, 맞은편 사람까지는 100다리를 가야 한다. 반 바퀴 500명을 한 번에 5명씩 건너가기 때문이다. 같은 고리 모양으로 80억 명을 세우고 한 사람이 아는 100명을 모두 양옆 이웃(양쪽 50명씩)으로 두면, 맞은편까지는 반 바퀴 40억 명을 50명씩 건너가 8,000만 다리다. 평균은 약 4,000만 다리로, 맞은편까지의 절반쯤이다.

곱셈은 다섯 다리면 80억 명보다 많은 사람에게 닿는다고 말한다. 반면 겹침만 있는 고리는 4,000만 다리가 평균이다. 앞에서 본 페이스북 측정에서는 서로 닿는 짝의 92%가 다리 5개 안에 있었으니, 실제 거리는 곱셈 쪽에 바짝 붙어 있다.

그렇다고 실제 연결망에 겹침이 없는 것은 아니다. 와츠와 스트로가츠가 잰 영화배우 협업망은 같은 영화에 함께 나온 두 배우를 아는 사이로 이은 연결망으로, 225,226명이 들어 있다. 여기서 한 배우와 함께 출연한 배우들끼리도 서로 함께 출연한 비율은 평균 79%였다. 사람 수와 평균 연결 수가 같도록 무작위로 이은 연결망이라면 이 비율은 0.027%이니, 배우망 쪽이 수천 배 높다. 그런데도 두 배우 사이 평균 거리는 3.65다리로, 그 무작위 연결망의 2.99다리보다 조금 길 뿐이었다. 겹침은 거의 그대로 둔 채 길만 줄이는 무언가가 이 연결망에 들어 있어야 한다.

멀리 사는 지인 몇 명이 길을 확 줄인다

이번에는 직접 돌려 볼 차례다. 아래 그림은 100명이 양쪽 2명씩 아는 고리 마을로, 아는 사이는 모두 200줄이다. 여기에 멀리 사는 사람과 잇는 줄을 하나씩 더한다. 무작위로 고른 두 사람을 곧장 잇는 이 줄을 지름길이라고 부른다. 지름길 하나가 곧 멀리 사는 지인 한 명이다.

그림 속 마을은 지름길 순서를 처음 뽑은 한 가지로 고정했다. 순서를 1,000가지로 바꿔 돌리면 지름길 10개일 때 마을 평균은 5.9다리로, 고리만 있을 때의 12.9다리에서 절반 아래로 내려온다. 지름길 10개는 아는 사이 200줄의 5%다. 이웃 관계는 하나도 지우지 않고 몇 줄만 더했을 뿐이다.

몇 줄로 이만큼 줄어드는 까닭은 첫 지름길 하나에서 보인다. 칸을 1로 올렸을 때 생긴 지름길은 「나」도 「맞은편」도 아닌 두 사람을 이었다. 그런데도 「나」에서 「맞은편」까지는 25다리에서 21다리로 짧아졌다. 지름길 하나는 그 두 사람 사이만이 아니라, 양쪽 이웃과 그 이웃의 이웃이 오가는 길까지 함께 줄인다.

친구 무리는 거의 그대로인데 거리만 줄어든다

지름길을 더하는 동안 함께 지켜볼 것이 하나 더 있다. 내 친구들끼리 서로 얼마나 아느냐다. 사람마다 자기 친구들 가운데 서로 아는 짝의 비율을 재고, 이를 모두에 대해 평균 낸 값을 군집 계수(클러스터링 계수)라고 부른다. 친구끼리 모두 서로 알면 1, 아무도 서로 모르면 0이다. 그림 3 오른쪽 카드의 「친구끼리 서로 아는 정도 47%」가 바로 이 값이고, 그 마을에 지름길이 없을 때는 50%다.

그림 4의 막대는 이 값 자체가 아니라, 지름길이 없는 고리일 때를 100%로 놓은 비율이다. 1,000명 고리 마을(아는 사이 5,000줄)에 지름길을 더해 가며 평균 다리 수와 군집 계수를 이렇게 나란히 놓았다. 지름길이 없을 때 평균은 50.5다리다. 지름길 10개(아는 사이 줄의 0.2%)를 더하면 18.6다리로 고리의 37%가 되고, 50개(1%)면 8.8다리로 고리의 17%가 된다. 그동안 군집 계수는 고리의 100%에서 98%로, 거의 그대로다.

「거의 그대로」에는 끝이 있다. 지름길을 500개(10%)까지 늘리면 평균은 4.3다리로 더 줄지만, 군집 계수도 고리의 84%로 내려온다. 지름길이 몇 개뿐일 때만 친구 무리가 거의 그대로 남는다.

와츠와 스트로가츠(1998)가 이 모양을 먼저 보였는데, 줄을 더하는 대신 옮겨 다는 방식이었다. 고리의 줄마다 일정한 확률로 한쪽 끝을 떼어, 무작위로 고른 다른 사람에게 다시 잇는다. 줄의 개수는 그대로다. 이 글이 같은 설정으로 다시 돌려 보니, 줄의 1.4%를 옮겼을 때 평균 다리 수는 고리의 16%, 군집 계수는 고리의 96%였다. 원 논문의 그림과 같은 모양이다.

이처럼 이웃끼리 촘촘히 뭉쳐 있으면서도 평균 다리 수가 적은 연결망을 좁은 세상 네트워크(작은 세상, small-world)라고 부른다. 두 사람이 이런 꼴이라고 보고한 실제 연결망은 셋이다. 앞에서 본 영화배우 협업망, 미국 서부 전력망, 예쁜꼬마선충의 신경망이다. 그리고 두 사람은 이 현상이 자연에서 보이는 크고 성긴 연결망에 「아마 흔할 것(probably generic)」이라고 적었다. 사람 사회 전체가 그렇다고 단정한 것은 아니다.

지름길이 놓여도 내 친구 목록은 거의 바뀌지 않는다. 그래서 마을 사람 누구도 변화를 알아채기 어려운데, 마을 전체의 거리는 몇 분의 1로 줄어든다. 와츠와 스트로가츠도 이 변화가 내 주변 수준에서는 「거의 드러나지 않는다(almost undetectable)」고 적었다. 세상이 좁아졌다는 사실은 내 친구 목록만 들여다봐서는 알 수 없다.

사람이 두 배로 늘어도 다리는 조금만 는다

이제 마을의 크기를 키운다. 앞 절의 1,000명 마을을 두 배씩 키워 16,000명까지 늘린다. 지름길도 50개에서 800개로 함께 늘려, 아는 사이 줄 가운데 지름길의 비율을 1%로 맞춘다. 그러면 평균 다리 수는 8.8 → 10.2 → 11.7 → 13.1 → 14.5다리로 는다.

사람이 두 배가 될 때마다 1.4다리쯤만 늘어나는 셈이다.

지름길이 없는 고리라면 50.5 → 100.5 → 200.5 → 400.5 → 800.5다리로, 사람 수와 함께 두 배씩 길어진다. 지름길 1% 마을은 사람이 열여섯 배로 느는 동안 다리 수가 두 배도 안 되게 늘었다. 페이스북 활성 사용자 15.9억 명이 다섯 다리 안팎으로 이어진 것도 같은 방향이다. 다만 이 마을의 아는 사람 10명은 실제보다 훨씬 적어서, 이 결과를 80억 명까지 늘려 실제 거리를 셈하지는 않는다.

지름길이 아는 사이 줄의 1% 안팎일 때까지는, 앞 절에서 본 대로 친구 무리도 거의 그대로 남았다. 그 범위 안에서 이 장난감 마을들이 보여 준 것은 이렇다. 지름길 몇 개만 있으면, 친구 무리는 거의 그대로인 채 마을 끝까지의 다리 수가 몇 분의 1로 줄어든다.

길이 있다는 것과 그 길을 찾는 것은 다르다

다시 밀그램의 편지로 돌아간다. 편지를 쥔 사람은 이름을 부르며 지내는 지인에게만 편지를 넘길 수 있었다. 실제로 출발한 217통 가운데 목표 인물에게 닿은 것은 64통, 29%다. 앞에서 본 평균 중개자 5.2명은 이 64통만의 평균이다.

저자들은 이 수의 한계를 양쪽으로 적었다. 탈락한 사람이 하필 목표 쪽으로 편지를 가장 못 넘길 사람들이었다면, 닿은 사슬만의 길이는 실제 거리를 짧게 잡는다. 다만 그 효과가 크지 않다는 근거도 함께 냈다.

반대 방향의 한계도 있다. 사람은 목표까지 가장 효율적인 길을 미리 내다볼 수 없다. 그래서 실험에서 나온 사슬은 가장 짧은 사슬보다 길 수밖에 없고, 저자들은 이 수를 최소 중개자 수의 상한이라고 적었다. 길이 있다는 것과 사람이 그 길을 찾는다는 것은 이렇게 다른 문제다. 클라인버그(Jon Kleinberg)는 2000년 논문에서 멀리 사는 지인, 곧 지름길을 고르게 무작위로 놓은 세상을 두고 이렇게 적었다.

처음의 곱셈은 길이 짧다는 답을 맞혔고, 고리 마을은 그 짧은 길이 멀리 사는 지인 몇 명에서 나온다는 것을 보였다. 그런데 그림 3에서는 지름길이 어디 있는지 한눈에 보인다. 편지를 든 사람에게 보이는 것은 자기 친구 목록뿐이고, 마을 전체의 지도는 없다. 짧은 길은 있고, 그 길을 찾는 일은 따로 남는다. 그렇다면 지도 없이, 우리는 편지를 어느 친구에게 건넬지 무엇을 보고 고르는가?

더 읽기

• Duncan J. Watts, Steven H. Strogatz, 「Collective dynamics of ‘small-world’ networks」, Nature 393, 440–442(1998) — https://doi.org/10.1038/30918
• Jeffrey Travers, Stanley Milgram, 「An Experimental Study of the Small World Problem」, Sociometry 32(4), 425–443(1969) — https://doi.org/10.2307/2786545
• Lars Backstrom, Paolo Boldi, Marco Rosa, Johan Ugander, Sebastiano Vigna, 「Four Degrees of Separation」, WebSci 2012, 33–42 — https://arxiv.org/abs/1111.4570