해바라기 머리를 들여다보면 씨앗이 한쪽으로 휘어 도는 줄과 반대쪽으로 휘어 도는 줄을 함께 이룬다. 씨앗은 나선을 따라 놓이는 것이 아니라, 새 씨앗이 앞 씨앗에서 매번 약 137.5도씩 돌아간 자리에 하나씩 생길 뿐이다. 각을 137.3도나 137.6도로 조금만 바꿔도 씨앗 사이에 빈 줄이 드러난다. 한 바퀴를 약 0.382 대 0.618 로 나누는, 해바라기 씨앗 배열의 이 각을 황금각(golden angle)이라고 한다.
해바라기 머리를 정면에서 보면 씨앗이 가운데에서 바깥으로 휘어 나가는 줄무늬를 이룬다. 한쪽으로 휜 줄과 반대쪽으로 휜 줄이 겹쳐, 원판 전체가 촘촘한 그물처럼 보인다. 한 방향의 줄은 34개나 55개인 경우가 흔하다. 가운데에서 바큇살처럼 곧게 뻗어 나간 줄은 어디에도 없다.
해바라기 씨는 왜 나선으로 박힐까? 새 씨앗이 앞 씨앗에서 매번 약 137.5도씩 돌아간 자리에 생기기 때문이다. 이 각으로 놓으면 씨앗이 곧은 줄로 겹치지 않고 원판에 고르게 퍼진다. 눈은 그중 가까운 씨앗끼리 이어, 서로 반대로 휜 두 방향의 나선을 본다. 해바라기 씨앗 배열의 나선은 씨앗이 따라 그리는 길이 아니라, 같은 각만큼 돌려 놓인 점들을 눈이 이어 본 무늬다. 다만 한 방향의 줄 수가 늘 34나 55 같은 수인 것은 아니다.
같은 각만큼 돌려 놓는 두 줄 규칙
해바라기 씨앗 자리를 그대로 다시 그리는 규칙은 두 줄이면 된다. 1979년 포겔(Vogel)이 내놓은 식이다. 첫째 줄은 방향이다. n 번째 씨앗은 기준 방향에서 n × 137.5° 만큼 돌린 쪽에 둔다. 둘째 줄은 거리다. n 번째 씨앗은 가운데서 √n 에 비례하는 만큼 떨어뜨린다.
둘째 줄의 √n 에는 이유가 있다. 크기가 같은 씨앗이 원판을 빈틈없이 고르게 채운다고 하면, 반지름 안에 든 씨앗 수는 원의 넓이를 따라 늘어난다. 반지름이 두 배가 되면 넓이는 네 배가 되고, 씨앗도 네 배가 들어간다. 그러니 거꾸로, n 번째 씨앗이 놓일 거리는 √n 에 맞춰 늘어야 한다. 이렇게 하면 씨앗 한 알이 차지하는 넓이가 바깥으로 가도 커지지도 작아지지도 않는다.
둘째 줄은 씨앗을 고르게 퍼뜨릴 뿐, 무늬의 모양은 정하지 않는다. 같은 √n 을 쓰더라도 첫째 줄의 각을 바꾸면 무늬가 통째로 달라진다. 해바라기 머리가 어떤 무늬를 띨지는 돌리는 각도 하나에 달려 있다.
분수 각의 바큇살, 황금각의 나선
돌리는 각도를 한 바퀴의 깔끔한 분수, 곧 분모가 작은 분수로 고르면 씨앗은 곧은 줄 위에 쌓인다. 180° 는 반 바퀴라서, 씨앗은 두 알마다 같은 방향으로 돌아와 곧은 줄 2개 위에만 놓인다. 120°(1/3 바퀴)면 3줄, 144°(2/5 바퀴)면 5줄, 135°(3/8 바퀴)면 8줄이다. 분모가 곧 줄 수다. 분모가 작으니 줄이 몇 개 없고, 줄과 줄 사이는 바깥으로 갈수록 넓게 빈다.
그림 1에서는 이 각도를 직접 바꿔 볼 수 있다. 「돌리는 각도」를 135° 에 놓으면 씨앗 1,000개가 바큇살 8줄로 늘어서고, 144° 에 놓으면 5줄로 늘어선다. 각도는 0.1° 간격으로 움직이고, 처음 놓인 값은 137.5° 다. 이 137.5° 도 정확히는 55/144 바퀴인 분수다. 다만 분모 144 는 커서 줄이 촘촘하고, 씨앗 1,000개 원판에서는 줄 사이 빈틈이 드러나지 않는다.
한 바퀴를 약 0.382 와 0.618 로 나눌 때, 작은 쪽의 각은 360° × (1 − 0.618…) ≈ 137.508° 다. 이 각을 황금각(golden angle)이라고 한다. 황금각으로 돌리면 몇 바퀴를 돌아도 같은 방향으로 딱 돌아오지 않는다. 한 바퀴의 분수로 딱 떨어지지 않는 각이라, 다음 씨앗은 늘 앞 씨앗들 사이 어딘가로 들어가 빈 곳을 차례로 메운다.
이 각은 아주 예민하다. 137.3° 나 137.6° 처럼 0.1~0.2° 만 어긋나도 원판에 빈 줄이 다시 드러난다. 식물 모양을 계산으로 그리는 교재 『The Algorithmic Beauty of Plants』도 137.3°·137.5°·137.6° 세 배치를 나란히 실었다. 137.3° 와 137.6° 쪽에서는 휘어 도는 줄 사이로 빈틈이 이미 보인다.
이 글은 그 차이를 숫자 하나로 쟀다. 씨앗마다 가장 가까운 이웃까지의 거리를 구해, 그 거리가 씨앗마다 얼마나 들쭉날쭉한지를 퍼센트로 냈다. 그림 오른쪽의 「간격의 들쭉날쭉함」이 이 값으로, 0% 면 모든 씨앗의 이웃 거리가 같다. 씨앗 1,000개로 잰 이 글의 계산에서 정확한 황금각은 1.7%, 137.5° 는 4.1% 였다. 137.3° 는 16.5%, 137.6° 는 19.7% 로 황금각의 열 배쯤이었다. 바큇살이 서는 135° 와 144° 는 73.5% 와 80.2% 였다.
씨앗을 500개나 2,000개로 바꿔도, 정확한 황금각 배치는 130°~145° 를 0.1° 간격으로 나눈 151칸 어느 것보다 고르게 나왔다. 다만 칸마다 값은 크게 오르내린다. 씨앗 1,000개에서 132.3° 는 4.2%, 137.8° 는 4.7% 로 137.5° 와 거의 같게 고르다. 황금각에서 멀어진다고 값이 차례로 나빠지는 것은 아니다.
황금각을 두고 「씨앗을 가장 빽빽하게 채우는 각」이나 「햇빛을 가장 많이 받는 각」이라는 설명을 흔히 보지만, 이 글이 읽은 문헌으로는 둘 다 받쳐지지 않는다. 2015년의 한 연구는 황금각을 최적이라고 했지만, 잎 배치가 바뀔 때 드는 비용을 기준으로 한 제안이었다. 햇빛 설명에 대해서는 같은 연구가 널리 받아들여지지 않았다고 적었다. 두아디(Douady)·쿠데르(Couder)는 이런 설명이 목적을 원인처럼 내세운다고 문제 삼았다. 배치를 만드는 장치가 먼저 있어야 자연이 그중에서 고를 수 있다는 것이다. 이 글이 잰 것은 씨앗 사이 간격이 얼마나 고른지 하나뿐이다.
135° 와 144° 는 깔끔한 분수라, 씨앗이 분모 개수의 줄에 겹쳤다. 황금각은 분수로 딱 떨어지지 않아서, 이 글이 잰 범위에서 그 겹침을 가장 잘 피했다. 바큇살이 서느냐 나선이 보이느냐는, 돌리는 각도가 깔끔한 분수에 걸리느냐에서 갈린다.
해바라기 씨앗 배열을 세는 순서
해바라기의 줄 수는 실물이 아니라 사진 한 장으로도 셀 수 있다. 다만 같은 송이라도 어디서 세느냐에 따라 다른 수가 나오므로, 아래 순서는 바깥과 안쪽에서 한 번씩 센다. 줄 하나에 표시를 해 두면 한 바퀴를 돌아 제자리에 왔는지 알 수 있다.
- 해바라기 사진이나 실물에서 바깥 테두리 가까이, 한 방향으로 휜 줄 하나를 골라 표시한다. 같은 방향으로 휜 줄을 한 바퀴 돌며 세고, 반대 방향으로 휜 줄도 따로 센다.
- 보는 원을 머리 전체의 2/3 쯤 크기로 좁혀 안쪽에서 다시 세고, 더 작은 짝(예: 34 와 21)이 나오는지 본다.
- 그림 1의 「돌리는 각도」를 135° 에 놓아 바큇살 8줄을 보고, 144° 로 옮겨 5줄을 본다.
- 각도를 137.5° 로 되돌리면 바큇살 대신 두 방향 나선이 보인다. 이어서 137.3° 와 137.6° 에 놓아 빈 줄이 다시 드러나는지 본다.
바깥 테두리에서 세는 것은 시민이 기른 해바라기 657송이를 모아 나선을 센 스윈턴(Swinton) 연구팀의 방식과 같다. 저자들도 되도록 바깥 테두리에서 셌고, 그곳이 해바라기 머리에서 가장 먼저 자란 부분이라고 적었다. 셈은 눈으로 하는 일이라 사람마다 갈린다. 시민과 저자가 둘 다 센 나선 수 745건 가운데, 저자들이 일치로 판정한 것은 479건이었다. 2단계의 「안쪽에서 세면 작은 짝」은 앞의 교재가 해바라기 사진으로 든 예다. 어디서 세느냐에 따라 같은 해바라기에서도 다른 짝이 나온다.
황금각에 다가가는 분수들
해바라기에서 세는 짝이 왜 21·34·55 같은 수인지는 황금각을 분수로 잡아 보면 알 수 있다. 황금각을 바퀴로 치면 약 0.382 바퀴다. 이 값에 점점 가까운 분수를 차례로 적으면 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, 21/55, 34/89 가 된다. 21/55 까지는 한 연구의 부록에 실린 목록이다. 각도로는 180°, 120°, 144°, 135°, 138.46°, 137.14°, 137.65°, 137.45°, 137.53° 로, 황금각보다 컸다 작았다 하며 다가간다.
분자와 분모에 나온 수를 늘어놓으면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 다. 앞의 두 수를 더하면 다음 수가 된다. 이 수열을 피보나치 수열이라 하고, 그 안의 수를 피보나치 수라고 부른다.
분수의 분모가 나선의 줄 수가 되는 까닭은 씨앗 번호로 보면 드러난다. 황금각으로 34번 돌리면 12.99바퀴로, 13바퀴에 조금 못 미친다. 그래서 번호가 34 차이 나는 두 씨앗은 거의 같은 방향에 조금 비켜 놓인다. 이런 씨앗끼리 이으면 나선 34줄이 생긴다.
바깥에서 짝이 커지는 까닭은 이 글의 산수로 풀면 이렇다. 바깥으로 갈수록 원둘레가 길어진다. 그래서 각이 조금만 어긋나도 둘레 위에서는 씨앗 사이가 멀리 벌어진다. 번호가 55나 89 차이 나는 씨앗은 방향이 더 잘 겹쳐, 바깥에서는 이들이 가장 가까운 이웃이 된다.
그림 2는 황금각으로 놓은 씨앗 3,000개를 번호 띠 넷으로 나눠, 띠마다 가장 가까운 이웃의 번호 차를 기계로 센 이 글의 계산이다. 안쪽 띠부터 21과 34, 34와 55, 55와 89, 89와 144가 나왔다. 사람이 사진을 보고 세는 방식과는 다르지만, 바깥으로 갈수록 이웃한 피보나치 수 짝이 커진다.
분수로 딱 떨어지지 않는다고 분수로 가깝게 잡을 수 없는 것은 아니다. 233/610 바퀴는 황금각과 0.0004° 밖에 차이 나지 않는다. 다만 황금각 곁의 분수들은 분모가 커지는 만큼에 견주면 황금각에 더디게 다가간다. 해바라기에서 피보나치 수를 세게 되는 것은, 그 분수들이 피보나치 수를 분모로 갖기 때문이다.
가장 빈 자리에 나는 싹
그렇다면 식물은 황금각을 어떻게 맞출까? 리들리(Ridley)는 1982년, 55줄과 89줄 나선이 또렷하려면 각이 21/55 바퀴와 34/89 바퀴 사이, 각도로 137.45°~137.53° 안에 들어야 한다고 적었다. 1869분의 1의 정밀도다. 그는 유전 정보만으로 이만큼 맞추는 것은 「completely impossible」, 곧 전혀 불가능하다고 보았다(앞의 교재가 옮겨 실은 문장).
두아디와 쿠데르는 1992년과 1996년 논문에서 다른 설명을 내놓았다. 핵심 가정은 셋이다. 앞으로 씨앗이 될 아주 작은 싹은 자라는 끝의 가운데 둘레에서, 일정한 시간 간격으로 하나씩 생긴다. 생긴 싹은 바깥으로 밀려나기만 한다. 새 싹은 앞 싹들이 남긴 가장 빈 자리에 난다.
그들은 이 규칙을 실험으로 옮겼다. 자석에 끌리는 액체 방울을 일정한 주기로 기름 접시 가운데에 떨어뜨리면, 방울은 자기장에 끌려 가장자리로 밀려간다. 방울끼리는 서로 밀어내므로, 새 방울은 앞 방울들 사이 가장 빈 자리로 굴러간다. 방울이 밀려나는 움직임이 식물의 자람을, 떨어뜨리는 주기가 싹이 생기는 간격을 대신한다.
조절하는 값은 하나, 새 싹이 하나 나는 사이에 앞 싹이 밀려 나가는 정도다. 이 값이 1 쯤으로 크면 새 방울은 바로 앞 방울의 정반대(180°)에 앉는다. 0.7 쯤에서는 150°, 실험이 닿은 0.1 쯤에서는 약 139° 와 5줄·8줄 나선이 나왔다. 컴퓨터 시뮬레이션에서는 이 값을 0.01 까지 내려 137.47° 와 13줄·21줄 나선을 얻었다. 그들은 이 규칙이 나선 무늬를 저절로 만든다는 것을 실험과 계산으로 보였다. 다만 피보나치 수의 나선으로 가려면 이 값이 큰 값에서 이어서 줄어들어야 한다는 단서를 달았다.
그림 3는 같은 규칙을 흉내 낸 이 글의 장난감 계산으로, 물리 장치는 아니다. 밀려 나가는 정도를 1에서 0.01 까지 420단계에 걸쳐 내리자, 싹 사이 각은 180° 에서 출발해 0.703 일 때 149.4° 를 지나고 137.5° 위아래를 오갔다. 마지막 40단계 평균은 137.37° 였다. 황금각보다 0.14° 모자란 자리로, 문헌의 시뮬레이션(137.47°)보다 조금 떨어진다.
이 글의 장난감에서도 밀려 나가는 정도를 큰 값에서 천천히 내려야 137.5° 근처로 갔다. 처음부터 0.01 로 두고 시작하면, 싹 사이 각은 92.3° 나 102.4° 에 앉았다. 두아디·쿠데르는 같은 0.01 에서, 1과 3으로 시작하는 다른 수열 쪽의 무늬(약 99.5°)를 적었다. 이 글의 두 값과 같은 값은 아니다. 식물에서는 자라는 동안 밀려 나가는 정도가 대개 큰 값에서 시작해 줄어든다고 저자들은 설명했다.
저자들은 이 과정을, 갈림길마다 분수 배치를 하나씩 피해 가며 분수로 딱 떨어지지 않는 각 쪽으로 가는 것으로 풀이했다. 앞 싹이 새 싹을 억누르는 작용이어도 밀어내는 힘과 효과는 같다고 그들은 덧붙였다. 2003년 한 연구팀은 실제 식물에서, 식물 생장 호르몬이 이미 있는 싹에서 어느 정도 떨어진 곳에만 쌓여 다음 싹의 자리를 정한다고 보고했다. 두아디·쿠데르 스스로도 그 밑의 생리 과정은 앞으로 밝혀야 한다고 적었다. 그들의 실험과 계산에서 황금각은, 가장 빈 자리 규칙을 천천히 돌리면 저절로 다가가는 자리였다.
나선 수는 늘 피보나치 수일까
2012년, 앨런 튜링 탄생 100주년을 맞아 영국 맨체스터 과학산업박물관이 시민들에게 해바라기를 길러 자료를 보내 달라고 했다. 스윈턴 연구팀은 이렇게 모은 자료를 2016년 논문과 공개 데이터로 냈다. 모인 해바라기는 657송이였고, 그 가운데 400송이에서 저자가 사진을 보고 직접 센 나선 수가 768개였다. 400송이인데 768개인 것은, 한 송이에서 두 방향을 다 세면 나선 수가 둘이 되기 때문이다.
768개 가운데 피보나치 수는 565개(73.6%)였다. 같은 규칙으로 다른 수에서 시작하는 수열이나 피보나치 수의 두 배까지 넓히면 632개(82.3%)가 된다. 그 어느 꼴도 아닌 수는 136개(17.7%)였다. 그림 4는 이 768개를 점 하나씩으로 칠한 그림이다.
송이로 세면 분모가 달라진다. 두 방향을 다 센 368송이 가운데, 두 수가 34와 55처럼 이웃한 피보나치 수 짝인 송이는 245송이(66.6%)였다. 어느 꼴에도 들지 않은 136개에도 치우침이 있었다. 피보나치 수보다 하나 적은 수(54·88 등)가 49개로, 하나 많은 수 17개보다 우연으로 보기 어려울 만큼 많았다. 피보나치 꼴이 아닌 값 가운데 가장 흔한 것도 55 바로 아래의 54(24개)였다.
예전의 큰 조사 두 건은 피보나치 수를 82%와 95%로 보고했다. 그러나 두 조사 모두 피보나치 꼴에 들지 않는 수는 하나도 보고하지 않았다. 피보나치 수가 나왔다는 것만으로 결론을 서두르기 어려운 까닭도 있다. 스윈턴 연구팀이 옮겨 적은 한 경고처럼, 1부터 17까지의 수 가운데 14개가 피보나치 꼴의 수열들에 든다. 그래서 34·55·89처럼 큰 수가 나오는 해바라기가 증거로서 값지다.
두아디·쿠데르의 규칙은 원래 잎이 줄기에 붙는 자리를 설명하려고 세운 것이다. 씨앗이 빼곡히 박히는 해바라기 머리는, 그 규칙이 아주 큰 수까지 드러나는 자리다. 저자들은 해바라기 가장자리에서 144줄과 233줄 같은 큰 피보나치 수가 나타날 수 있다고 예를 들었다. 실제 해바라기에서 센 나선 수도 넷에 셋꼴로 피보나치 수였다. 해바라기의 나선 수는 피보나치 수 근처에 모인다.
더 읽기
- Jonathan Swinton, Erinma Ochu, The MSI Turing’s Sunflower Consortium, 「Novel Fibonacci and non-Fibonacci structure in the sunflower: results of a citizen science experiment」, Royal Society Open Science 3(5): 160091(2016) — https://doi.org/10.1098/rsos.160091 · 데이터 https://doi.org/10.5061/dryad.f9k77
- S. Douady, Y. Couder, 「Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process. Part I: The Spiral Modes Resulting from Time-Periodic Iterations」, Journal of Theoretical Biology 178, 255–274(1996) — https://doi.org/10.1006/jtbi.1996.0024
- S. Douady, Y. Couder, 「Phyllotaxis as a physical self-organized growth process」, Physical Review Letters 68(13), 2098–2101(1992) — https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.68.2098 (초록만 읽음)
- Przemyslaw Prusinkiewicz, Aristid Lindenmayer, 『The Algorithmic Beauty of Plants』 4장 「Phyllotaxis」, Springer-Verlag(1990) — http://algorithmicbotany.org/papers/abop/abop-ch4.pdf
- Helmut Vogel, 「A better way to construct the sunflower head」, Mathematical Biosciences 44(3–4), 179–189(1979) — 원문은 받아 보지 못했다. 위 『The Algorithmic Beauty of Plants』 4장을 거쳐 인용
- Takuya Okabe, 「Physical Phenomenology of Phyllotaxis」, Journal of Theoretical Biology 280, 63–75(2011) — https://arxiv.org/abs/1011.1981
- Takuya Okabe, 「Biophysical optimality of the golden angle in phyllotaxis」, Scientific Reports 5: 15358(2015) — https://doi.org/10.1038/srep15358
- D. Reinhardt 외, 「Regulation of phyllotaxis by polar auxin transport」, Nature 426, 255–260(2003) — https://doi.org/10.1038/nature02081 (초록만 읽음)